Bài 1: Hai bạn An và Khoa cùng làm chung một công việc sau 6 giờ thì xong. Biết nếu làm một mình xong công việc thì Khoa làm lâu hơn An 9 giờ. Tính thời gian làm một mình xong công việc của An, Khoa.

Question

Tài khoản ẩn danh · Accepted Answer

{"userId":5187484,"userName":"Thuy Hua"}

Gọi thời giam làm một mình đến khi xong việc của An,Khoa lần lượt là x , y (h) ( x , y > 6 )

Trong 1h An làm được số phần công việc là: $$ \dfrac{1}{x} $$ (công việc)

Trong 1h Khoa làm được số phần công việc là: $$ \dfrac{1}{y} $$ (công việc)

Trong 1h cả hai bạn làm được số phần công việc là: $$ \dfrac{1}{6} $$ (công việc)

$$ ⇔\dfrac{1}{x} +\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{6} (1)$$

Vì nếu làm một mình xong công việc thì Khoa làm lâu hơn An 9h nên ta có: $$ y−x=9\left(2 ight) $$

Từ $$ ( 1 ) $$ và $$ ( 2 ) $$ta có hệ pt sau:

$$ \begin{cases}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{6} \ y-x=9\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+9}=\dfrac{1}{6} \ y=x+9\end{cases}\\Leftrightarrow\begin{cases}\dfrac{9+2x}{9x+x^2}=\dfrac{1}{6} \ y=x+9\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}9x+x^2=6(9+2x) \ y=x+9\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x^2-3x-54=0 \ y=x+9\end{cases} $$

Xét $$ x^2−3x−54=0 $$

Ta có: $$ Δ = ( − 3 )^ 2 − 4.1 . ( − 54 )=9+216=225>0 $$

$$ ⇒ $$ Pt có hai nghiệm phân biệt $$ x_1 ; x_2 $$

$$ x_1= \dfrac{-(-3) + \sqrt{225}}{2.1} = \dfrac{3+15}{2}=9 ( ext{tm}) $$

$$ x_2=\dfrac{-(-3) -\sqrt{225}}{2.1} = \dfrac{3-15}{2} = -6 ( ext{loại}) $$

Từ $$ x = 9 ⇒ y = 9 + 9 = 18 ( tm ) $$

Vậy thời gian làm một mình đến khi xong công việc của An, Khoa lần lượt là 9 h ; 18 h

Timi · Answer

Loại bài toán này là bài toán về công việc, cụ thể là tìm thời gian hoàn thành công việc khi mỗi người làm riêng.

Giả sử thời gian An hoàn thành công việc khi một mình là $x$ (giờ), theo đề bài ta biết Khoa sẽ cần $x + 9$ giờ để hoàn thành công việc khi một mình.

Theo quy tắc của bài toán công việc, nếu hai người cùng làm thì thời gian hoàn thành công việc sẽ bằng nghịch đảo của tổng các nghịch đảo thời gian mỗi người làm riêng. Tức là:

$\frac{1}{6} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x+9}$

Đây chính là phương trình ta cần giải để tìm ra $x$.

Đầu tiên, ta nhân cả hai vế của phương trình cho $6x(x+9)$ để loại bỏ phân số:

$6x(x+9) = x(x+9) + 6x$

Sau đó, ta giải phương trình thu được:

$x^2 + 9x = 6x^2 + 54x$

Đưa vế sau qua vế trước, ta có:

$5x^2 + 45x = 0$

Rút gọn phương trình, ta được:

$x(5x + 45) = 0$

Vậy nghiệm của phương trình là $x = 0$ hoặc $x = -9$. Tuy nhiên, thời gian không thể âm và cũng không thể bằng 0, vì vậy ta loại bỏ hai nghiệm này.

Như vậy, có lỗi trong quá trình giải. Ta xem lại phương trình ban đầu:

$\frac{1}{6} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x+9}$

Khi nhân cả hai vế cho $6x(x+9)$, ta phải được:

$6x(x+9) = 6(x+9) + x$

Đây mới chính xác. Giải tiếp tục, ta thu được:

$5x^2 + 3x -54 = 0$

Giải phương trình bậc hai này, ta tìm được $x=3$ hoặc $x=-18/5$. Vì thời gian không thể âm nên ta chỉ chấp nhận nghiệm $x=3$.

Vậy An mất 3 giờ để hoàn thành công việc khi một mình và Khoa mất $3+9=12$ giờ.

MemeChua · Answer

Gọi thời gian làm một mình xong công việc của An, Khoa lần lượt là x,y (giờ, x,y>0)
Mỗi giờ An làm được $\displaystyle \frac{1}{x}$ công việc
Mỗi giờ Khoa làm được $\displaystyle \frac{1}{y}$ công việc
Vì An và Khoa cùng làm chung một công việc sau 6 giờ thì xong nên $\displaystyle 6\left(\frac{1}{x} +\frac{1}{y} ight) =1$
Vì nếu làm một mình xong công việc thì Khoa làm lâu hơn An 9 giờ nên $\displaystyle y=x+9$
Khi đó ta có hệ phương trình:
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\begin{cases}
6\left(\frac{1}{x} +\frac{1}{y} ight) =1 & \
y=x+9 &
\end{cases} \Longrightarrow \begin{cases}
\frac{1}{x} +\frac{1}{x+9} =\frac{1}{6} & \
y=x+9 &
\end{cases}\
\Longrightarrow \begin{cases}
6x+6( x+9) =x( x+9) & \
y=x+9 &
\end{cases}\
\Longrightarrow \begin{cases}
x^{2} -3x-54=0 & \
y=x+9 &
\end{cases} \Longrightarrow \begin{cases}
\left[ \begin{array}{l l}
x=9 & \
x=-6\ ( loại) &
\end{array} ight. & \
y=x+9 &
\end{cases}\
\Longrightarrow \begin{cases}
x=9 & \
y=18 &
\end{cases}
\end{array}$
Vậy thời gian làm một mình xong công việc của An, Khoa lần lượt là 9 giờ, 18 giờ