Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AH là đường cao. Gọi I và K lần lượt là hình chiếu của H lên AB và AC. 1) Chứng minh: AH²=AI.AB 2) Chứng minh: ∆AIK đồng dạng ACE 3) Biết BC=10cm, AH=4,8cm, tính...

1) Xét $\displaystyle \vartriangle AHB$ vuông tại $\displaystyle H$ có $\displaystyle HI$ là đường cao

⟹ $\displaystyle AH^{2} =AI.AB$ (hệ thức lượng)

2) Xét $\displaystyle \vartriangle AHB$ vuông tại $\displaystyle H$ có $\displaystyle \widehat{BAH} +\widehat{ABH} =90^{o}$

Mà $\displaystyle AIHK$ là hình chữ nhật $\displaystyle \left(\hat{A} =\widehat{AIH} =\widehat{AKH} =90^{o}\right) \Longrightarrow \widehat{IAH} =\widehat{AIK}$

⟹ $\displaystyle \widehat{AIK} +\hat{B} =90^{o}$

Mặt khác $\displaystyle \hat{C} +\hat{B} =90^{o} \Longrightarrow \widehat{AIK} =\hat{C}$

Xét $\displaystyle \vartriangle AIK$ và $\displaystyle \vartriangle ACB$ có: $\displaystyle \begin{cases}
\hat{A} \ chung & \\
\widehat{AIK} =\hat{C} & 
\end{cases} \Longrightarrow \vartriangle AIK\backsim \vartriangle ACB\ ( g.g)$

3) Vì $\displaystyle \vartriangle AIK\backsim \vartriangle ACB\Longrightarrow \frac{AI}{AC} =\frac{AK}{AB} \Leftrightarrow \frac{AI}{AK} =\frac{AC}{AB}$

Xét $\displaystyle \vartriangle ABC$ vuông tại $\displaystyle A$ có: $\displaystyle AH.BC=AB.AC$

$\displaystyle \Leftrightarrow AB.AC=48\ ( 1)$

Lại có $\displaystyle AB^{2} +AC^{2} =BC^{2} =100\ ( 2)$

Đặt $\displaystyle AB=x;AC=y$

Từ $\displaystyle ( 1) ,( 2)$ ta có hệ phương trình: $\displaystyle \begin{cases}
xy=48 & \\
x^{2} +y^{2} =100 & 
\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}
x=\frac{48}{y} & \\
\frac{48^{2}}{y^{2}} +y^{2} =100\ ( *) & 
\end{cases}$

$\displaystyle  \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
( *) \Leftrightarrow 48^{2} +y^{4} =100y^{2}\\
\Leftrightarrow y^{4} -100y^{2} +2304=0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l l}
y=8 & \\
y=6 & \\
y=-6\ ( loại) & \\
y=-8\ ( loại) & 
\end{array} \right. \Longrightarrow \begin{cases}
x=6 & \\
x=8 & 
\end{cases}
\end{array}$

⟹ $\displaystyle \frac{AI}{AK} =\frac{3}{4}$

Xét $\displaystyle \vartriangle AHB$ vuông tại $\displaystyle H$ có $\displaystyle BH=\sqrt{AB^{2} -AH^{2}} =3,6\ ( cm)$

Mặt khác $\displaystyle IH.AB=HB.HA\Longrightarrow IH=\frac{HB.HA}{AB} =\frac{3,6.4,8}{6} =2,88\ =AK$

⟹ $\displaystyle \frac{AI}{2,88} =\frac{3}{4}$ ⟹ $\displaystyle AI=2,16$

⟹ $\displaystyle S_{\vartriangle AIK} =\frac{1}{2} AI.AK=3,1104\ \left( cm^{2}\right)$