Cho đường tròn (O) đường kính MN = 2R. Trên đoạn thẳng OM lấy điểm F (F khác O và M). Dây PA vuông góc với MN tại F. Trên cung nhỏ NP lấy điểm D bất kì (D khác N, D khác P), MD cắt PF tại I, gọi E là g...

Vì MN vuông góc với PA tại F nên F là trung điểm của PA 
Tam giác PNA cân tại N. (NF là đường cao, đường trung tuyến)
F là trung điểm của OM; PF vuông góc với  OM nên tam giác PMO cân tại P 
Mà $\displaystyle OM\ -\ OP\ =\ R$ nên tam giác PMO đều suy ra$\displaystyle \ \widehat{POM} \ =\ 60^{0}$
⟹  $\displaystyle \widehat{PNM} \ =30^{0}$⟹ $\displaystyle \widehat{PNA} \ =\ \ 60^{0}$ nên tam giác PNA đều 
Trên tia DA lấy điểm B sao cho $\displaystyle DB=DP$ 
Vì  $\displaystyle \widehat{PDA} \ =\ \ \widehat{PNA} \ =\ 60^{0}$ (góc nội tiếp cũng chẳn cung PA) 
nên  tam giác PDB đều 
Vì $\displaystyle \widehat{PBA} \ =180^{0} -\widehat{PBD} =120^{0}$ (kề bù)
$\displaystyle \widehat{PDN} \ =180^{0} -\widehat{PMN} =120^{0}$
$\displaystyle \ \widehat{PAD\ } =\ \widehat{PND} \ $(góc nội tiếp cùng chắn cung PD) 
Suy ra $\displaystyle \widehat{PBA} =\ \widehat{PDN}$ 
Xét tam giác PBA và tam giác PBN ta có: 
$\displaystyle \ \widehat{PAD\ } =\ \widehat{PND} \ $
PB = PD 
$\displaystyle \widehat{PBA} \ =\ \widehat{PDN}$
Do đó tam giác PBA = tam giác PDN(g.c.g)
suy ra AB = DN Khi đó $\displaystyle DN\ +\ DP\ =\ BA\ +\ BD\ =\ AD\ \leqslant \ 2R$
Đăng thức xảy ra khi và chỉ khi AD đường kính của đường tròn (0)
$\displaystyle \Leftrightarrow $ D là điểm đối xứng với A qua O
Vậy giá trị lớn nhất của DN + DP bằng 2R khi D đối xứng với A qua O