Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O; R). Các đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Gọi K là giao điểm của EF với BC. a) Chứng minh: Tứ giác BCEF nội tiếp. b) Chứng minh: KB.KC = KE.KF. c)...

a) Ta có: - Góc BHC = 180° - góc EHB - góc FHC = 180° - góc EAB - góc FAC (do BE ⊥ AC, CF ⊥ AB) = 180° - (90° - góc ABC) - (90° - góc ACB) = 180° - 180° + góc ABC + góc ACB = góc ABC + góc ACB = 180° - ∠A (tổng các góc trong tam giác) => Tứ giác BCEF nội tiếp. b) Ta có: - Tứ giác BCEF nội tiếp => ∠EKB = ∠FCB và ∠FKC = ∠ECB => KB/KC = sin∠EKB/sin∠FKC = sin∠FCB/sin∠ECB => KB.KC = BC.sin∠ABC.sin∠ACB - Ta có: KE/KF = sin∠KFE/sin∠KEF = sin∠BCA/sin∠CBA => KE.KF = BC.sin∠ABC.sin∠ACB Vậy KB.KC = KE.KF. c) Ta có: - M là điểm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC => AM là phân giác của ∠A. - Vì MH vuông góc AK nên ta cần chứng minh AM là phân giác của ∠HAC. - Do tứ giác BCEF nội tiếp => ∠EKB = ∠FCB và ∠FKC = ∠ECB => KB/KC = sin∠EKB/sin∠FKC và KE/KF=sin∡BCA/sin∡CBA => KB.KC=KE.KF => K thuộc đường thẳng AM. Vậy MH vuông góc AK.