Tìm GTLN của: C=-3/x^2-5x+1

Question

hilamaya · Accepted Answer

$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
C=\frac{-3}{x^{2} -5x+1} \ Max\ \ khi\ x^{2} -5x+1\ Min\
+) \ x^{2} -5x+1=\left( x-\frac{5}{2} ight)^{2} -\frac{21}{4} \geqslant \frac{-21}{4}\
ightarrow Min\left( x^{2} -5x+1 ight) =\frac{-21}{4}\
ightarrow Max( C) =\frac{-3}{\frac{-21}{4}} =\frac{4}{7} \ khi\ x=\frac{5}{2} \
\end{array}$

Timi · Answer

Đây là một bài toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số. Hàm số cho trước là hàm số phân thức.

Bước 1: Tìm miền xác định của hàm số

Hàm số $C=-\frac{3}{x^2-5x+1}$ xác định khi mẫu không bằng 0, tức là $x^2-5x+1 
eq 0$. Giải phương trình này ta được nghiệm $x_1 = \frac{5+\sqrt{21}}{2}$ và $x_2 = \frac{5-\sqrt{21}}{2}$. Vậy miền xác định của hàm số là $\mathbb{R} - \left\{\frac{5+\sqrt{21}}{2}, \frac{5-\sqrt{21}}{2}ight\}$.

Bước 2: Tìm cực trị của hàm số

Để tìm cực trị, ta cần tìm các điểm có đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định. Đầu tiên, ta tính đạo hàm:

$C&#x27; = -\frac{(x^2-5x+1)&#x27;*(-3)}{(x^2-5x+1)^2} = \frac{-6*(2*x-5)}{(x^2-5*x+1)^2}$

Giải phương trình $C&#x27;=0$, ta được $x= \frac {5}{2}$.

Bước 3: Xác định giá trị lớn nhất

Để xác định GTLN, ta cần so sánh giá trị của hàm số tại các điểm có đạo hàm bằng 0 và các điểm cuối cùng của miền xác định. Tuy nhiên, do miền xác định của hàm số là một khoảng mở nên không có điểm cuối. Vậy ta chỉ cần so sánh giá trị của hàm số tại $x=\frac {5}{2}$ và hai điểm không xác định $x_1 = \frac{5+\sqrt{21}}{2}$ và $x_2 = \frac{5-\sqrt{21}}{2}$.

Ta thấy rằng khi $x$ tiến dần tới $\frac{5+\sqrt{21}}{2}$ hoặc $\frac{5-\sqrt{21}}{2}$ từ bên trái hoặc bên phải thì giá trị của hàm số tiến dần về $-\infty$. Do đó, GTLN của hàm số chính là giá trị tại $x=\frac {5}{2}$, tức là:

$C_{max} = -\frac {3}{(\frac {5}{2})^2-5*\frac {5}{2}+1}= -\frac {12}{4}=-3$

Vậy GTLN của hàm số là -3.