Bài tập chứng minh tứ giác nội tiếp bằng cách chứng minh tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc α. (kèm bài giải luôn ạ)

Question

nhathanh · Accepted Answer

Giả sử tứ giác ABCD có hai đỉnh B và C cùng nhìn cạnh AD dưới cùng một góc $\displaystyle \alpha \ \left( 0< \alpha < 180^{o}\right)$
Khi đó, B và C cùng thuộc cung chứa góc $\displaystyle \alpha $ (tâm O) dựng trên cạnh AD.

Tức là bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc đường tròn (O)
$\displaystyle \Rightarrow $tứ giác ABCD nội tiếp

Timi · Answer

Bài toán này thuộc loại bài toán hình học, cụ thể là chứng minh tứ giác nội tiếp. Để giải quyết bài toán này, ta sẽ dùng định lý về góc ở tâm và góc cung chưa.

Giả sử tứ giác ABCD là tứ giác cần chứng minh nội tiếp. Theo yêu cầu của bài toán, ta có hai đỉnh kề A và B nhìn một cạnh CD dưới một góc $\alpha$.

Đặt O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD. Ta có:

$$\angle AOD = 2\alpha \quad (1)$$

Vì ABCD là tứ giác nội tiếp nên theo tính chất của tứ giác nội tiếp, ta có:

$$\angle BAD + \angle BCD = 180^{\circ} \quad (2)$$

Từ (1) và (2), ta suy ra được:

$$2\alpha + \angle BCD = 180^{\circ}$$

Do đó:

$$\angle BCD = 180^{\circ} - 2\alpha$$

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp khi hai đỉnh kề nhìn một cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc $\alpha$.