Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có AB=3, AC=4 và BC=5. Chứng minh rằng đường thẳng AC là tiếp tuyến của đường tròn (B;3). vẽ hình và làm bài

Để chứng minh đường thẳng AC là tiếp tuyến của đường tròn (B;3), trước hết, chúng ta cần tìm vị trí của các điểm A, B, C trong tam giác và sau đó kiểm tra khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng AC. ### Bước 1: Vẽ hình - Đầu tiên, chúng ta có thể vẽ tam giác ABC sao cho AB = 3, AC = 4 và BC = 5. Một cách đơn giản để vẽ tam giác này là: - Đặt điểm B tại tọa độ (0, 0). - Đặt điểm A tại tọa độ (3, 0) vì AB = 3. - Để tìm điểm C, chúng ta có thể dùng định lý Pythagore: \[ BC^2 = AB^2 + AC^2 \Rightarrow 5^2 = 3^2 + AC^2 \Rightarrow 25 = 9 + AC^2 \Rightarrow AC^2 = 16 \Rightarrow AC = 4 \] Đặt điểm C tại tọa độ (3, y), và từ đó ta có thể giải phương trình: \[ (3 - 0)^2 + (y - 0)^2 = 5^2 \Rightarrow 9 + y^2 = 25 \Rightarrow y^2 = 16 \Rightarrow y = 4 \text{ hoặc } -4 \] Chúng ta sẽ chọn C tại (3, 4) để đơn giản. ### Bước 2: Xác định phương trình đường thẳng AC - Đường thẳng AC đi qua hai điểm A (3, 0) và C (3, 4). - Phương trình đường thẳng AC là x = 3. ### Bước 3: Xác định phương trình đường tròn (B;3) - Đường tròn có tâm B (0, 0) và bán kính 3 có phương trình: \[ x^2 + y^2 = 3^2 \Rightarrow x^2 + y^2 = 9. \] ### Bước 4: Kiểm tra khoảng cách từ B đến đường thẳng AC - Để kiểm tra xem AC có phải là tiếp tuyến của đường tròn hay không, ta tính khoảng cách từ điểm B (0, 0) đến đường thẳng AC (x = 3). - Khoảng cách từ một điểm (x_0, y_0) đến đường thẳng Ax + By + C = 0 được tính bằng công thức: \[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}. \] - Đường thẳng AC có thể viết lại thành phương trình: 1(x) + 0(y) - 3 = 0. Vậy A = 1, B = 0, C = -3. Áp dụng công thức: \[ d = \frac{|1 \cdot 0 + 0 \cdot 0 - 3|}{\sqrt{1^2 + 0^2}} = \frac{3}{1} = 3. \] ### Bước 5: Kết luận - Khoảng cách từ B đến đường thẳng AC là 3, đúng bằng bán kính của đường tròn. Điều này có nghĩa là AC chính là tiếp tuyến của đường tròn (B;3). Vậy, chúng ta đã chứng minh rằng đường thẳng AC là tiếp tuyến của đường tròn (B;3).