Đáp án $+$ Giải thích Ví dụ 6: Thực hiện phép tính:,$a)~(\sqrt{15}+2\sqrt3)^2-12\sqrt5$,$b)~(\sqrt3+1)^2-2\sqrt3+4$,$c)~(1+\sqrt2+\sqrt3)(1+\sqrt2-\sqrt3)$,$d)~(1-\sqrt3)^2(1+\sqrt3)^2$

Question

Huycindy · Accepted Answer

Ví dụ $6:$
$a)$ $(\sqrt{15} + 2\sqrt{3})^2 - 12\sqrt{5}$
$= 15 + 2 . \sqrt{15} . 2\sqrt{3} + 12 - 12\sqrt{5}$
$= 27 + 4\sqrt{45} - 12\sqrt{5}$
$= 27 + 12\sqrt{5} - 12\sqrt{5}$
$= 27$
$b)$ $(\sqrt{3} + 1)^2 - 2\sqrt{3} + 4$
$= 3 + 2\sqrt{3} + 1 - 2\sqrt{3} + 4$
$= 8$
$c)$ $(1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}) . (1 + \sqrt{2} - \sqrt{3})$
$= \left[ (1 + \sqrt{2}) + \sqrt{3} \right] . \left[ (1 + \sqrt{2}) - \sqrt{3} \right]$
$= (1 + \sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2$
$= 1 + 2\sqrt{2} + 2 - 3$
$= 2\sqrt{2}$
$d)$ $(1 - \sqrt{3})^2 . (1 + \sqrt{3})^2$
$= \left[ (1 - \sqrt{3}) . (1 + \sqrt{3}) \right]^2$
$= (1 - 3)^2$
$= (-2)^2$
$= 4$

Timi · Answer

Để giải các bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phép tính một.

**a)** Tính giá trị của biểu thức $(\sqrt{15}+2\sqrt3)^2-12\sqrt5$.

Đầu tiên, chúng ta sẽ tính $(\sqrt{15}+2\sqrt3)^2$:
$$
(\sqrt{15}+2\sqrt{3})^2 = (\sqrt{15})^2 + 2 \cdot \sqrt{15} \cdot 2\sqrt{3} + (2\sqrt{3})^2
$$
$$
= 15 + 4\sqrt{45} + 4 \cdot 3 = 15 + 12\sqrt{5} + 12
$$
$$
= 27 + 12\sqrt{5}
$$

Sau đó, chúng ta sẽ trừ $12\sqrt{5}$:
$$
27 + 12\sqrt{5} - 12\sqrt{5} = 27
$$

Vậy, kết quả của biểu thức $a$ là:
$$
\text{Kết quả: } 27
$$

---

**b)** Tính giá trị của biểu thức $(\sqrt{3}+1)^2-2\sqrt{3}+4$.

Đầu tiên, tính $(\sqrt{3}+1)^2$:
$$
(\sqrt{3}+1)^2 = (\sqrt{3})^2 + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1 + 1^2
$$
$$
= 3 + 2\sqrt{3} + 1 = 4 + 2\sqrt{3}
$$

Sau đó, chúng ta sẽ thực hiện phép trừ:
$$
4 + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{3} + 4 = 4 + 4 = 8
$$

Vậy, kết quả của biểu thức $b$ là:
$$
\text{Kết quả: } 8
$$

---

**c)** Tính giá trị của biểu thức $(1+\sqrt{2}+\sqrt{3})(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})$.

Đây là một dạng tích của hai nhị thức. Chúng ta sẽ sử dụng công thức:
$$
(a+b)(a-b) = a^2 - b^2
$$
Trong trường hợp này:
$$
a = 1 + \sqrt{2}, \quad b = \sqrt{3}
$$
Do đó:
$$
(1+\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2
$$
Tính $(1+\sqrt{2})^2$:
$$
(1+\sqrt{2})^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 1 + 2\sqrt{2} + 2 = 3 + 2\sqrt{2}
$$

Tính $(\sqrt{3})^2 = 3$. Vậy, chúng ta có:
$$
(1+\sqrt{2})^2 - 3 = (3 + 2\sqrt{2}) - 3 = 2\sqrt{2}
$$

Vậy, kết quả của biểu thức $c$ là:
$$
\text{Kết quả: } 2\sqrt{2}
$$

---

**d)** Tính giá trị của biểu thức $(1-\sqrt{3})^2(1+\sqrt{3})^2$.

Trước tiên, ta tính $(1-\sqrt{3})^2$ và $(1+\sqrt{3})^2$:
$$
(1-\sqrt{3})^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 1 - 2\sqrt{3} + 3 = 4 - 2\sqrt{3}
$$
$$
(1+\sqrt{3})^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 1 + 2\sqrt{3} + 3 = 4 + 2\sqrt{3}
$$

Bây giờ, tính tích:
$$
(4 - 2\sqrt{3})(4 + 2\sqrt{3}) = 4^2 - (2\sqrt{3})^2 = 16 - 4 \cdot 3 = 16 - 12 = 4
$$

Vậy, kết quả của biểu thức $d$ là:
$$
\text{Kết quả: } 4
$$

---

Tóm tắt các kết quả:
- a) $27$
- b) $8$
- c) $2\sqrt{2}$
- d) $4$