Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C):x2+y2−4x+8y−5=0 biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d:2x−3y+5=0

Đầu tiên, ta cần tìm tâm và bán kính của đường tròn (C). Phương trình của đường tròn có dạng \(x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0\), với tâm là \((a, b)\) và bán kính \(r = \sqrt{a^2 + b^2 - c}\). Từ phương trình đường tròn (C): \(x^2+y^2−4x+8y−5=0\), ta có: \(a = \frac{4}{2} = 2\) \(b = \frac{-8}{2} = -4\) \(c = -5\) Vậy tâm của đường tròn là O(2,-4) và bán kính r của đường tròn là \(r=\sqrt{a^2+b^2-c}=\sqrt{20}= 4.47\) (làm tròn). Tiếp theo, ta biết rằng tiếp tuyến song song với một đường thẳng nếu và chỉ nếu chúng có cùng hệ số góc. Hệ số góc của d: \(d: 2x-3y+5=0\) là \(\frac{3}{-2}\). Vậy phương trình tiếp tuyến sẽ có dạng: \[y+4=-\frac{3}{-2}(x-2)\] Sau khi giản lược, ta được phương trình tiếp tuyến: \[y = \frac{2}{3}x - \frac{8}{3}\] Cuối cùng, ta cần kiểm tra xem đường tiếp tuyến có thỏa mãn điều kiện là khoảng cách từ tâm O đến đường tiếp tuyến bằng bán kính r hay không. Khoảng cách từ điểm (2,-4) đến đường thẳng \(y = \frac{2}{3}x - \frac{8}{3}\) được tính như sau: \[d=\frac{|2*2+(-4)*\frac{2}{3}-\frac{8}{3}|}{\sqrt{(2)^2+(\frac{-2}{3})^2}}=4.47\] Vì d=r nên phương trình \(y = \frac{2}{3}x - \frac{8}{3}\) chính là phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C).