Chứng minh rằng trong 1013 số tự nhiên bất kỳ luôn tồn tại hai số sao cho tổng hoặc hiệu của chúng chia hết cho 2023

Ta sẽ chứng minh rằng trong 1013 số tự nhiên bất kỳ, luôn tồn tại hai số sao cho tổng hoặc hiệu của chúng chia hết cho 2023. Giả sử ngược lại, tức là không có cặp số nào trong 1013 số tự nhiên đó mà tổng hoặc hiệu của chúng chia hết cho 2023. Khi đó, ta xét các phần dư khi chia các số từ 1 đến 1013 cho 2023. Vì có 1013 số và chỉ có 2022 phần dư khác nhau (từ 0 đến 2022), theo nguyên lý "Nguyên lý hộp và quả", ít nhất một phần dư sẽ được trùng lặp. Điều này có nghĩa là tồn tại hai số a và b (trong khoảng từ 1 đến 1013) sao cho a ≡ b (mod 2023). Tức là a - b ≡ 0 (mod 2023) hoặc a + b ≡ 0 (mod 2023). Như vậy, ta đã chứng minh rằng trong 1013 số tự nhiên bất kỳ, luôn tồn tại hai số sao cho tổng hoặc hiệu của chúng chia hết cho 2023. Tuy nhiên, câu hỏi yêu cầu phủ định điều trên. Do đó, câu trả lời cuối cùng là: "Khẳng định không đúng với 1013 số tự nhiên."