Cho tam giác ABC có AM là đường trung tuyến. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho EC = 2AE. Qua E vẽ đường thẳng song song với BC, đường thẳng này cắt AB tại D. Gọi K là giao điểm của DE và AM a) Chứng minh...

Đây là một bài toán về hình học trong không gian, cụ thể là về tam giác và các tính chất liên quan đến đường trung tuyến, tỉ số đoạn thẳng và song song. a) Chúng ta cần chứng minh $$ Bước 1: Do $$ nên ta có $$. Bước 2: Vì AM là đường trung tuyến của tam giác ABC nên theo tính chất của đường trung tuyến, ta có $$. Bước 3: Từ Bước 1 và Bước 2, ta suy ra được $$. Bước 4: Do DE // BC và AM cắt DE tại K nên theo tính chất của dòng song song, ta có tỉ số $$. Bước 5: Vì D,E,B,C thuộc cùng một dòng song song nên theo tính chất của dòng song song, ta có tỉ số $$. Kết luận: Từ Bước 4 và Bước 5, ta suy ra được $$. b) Chúng ta cần chứng minh OE // MN và B,E,O thẳng hàng Bước 1: Do O là trung điểm của AM nên AO = OM = $$. Bước 2: Do N là trung điểm của EC nên EN = NC = $$. Bước 3: Vì $$ và $$ (đã chứng minh ở phần a) nên ta có $$ và $$. Bước 4: Từ Bước 3, ta suy ra được OE bằng tổng của hai đoạn thẳng bằng nhau là EN và OM. Bước 5: Vì OE bằng tổng của EN và OM nên theo tính chất của đường trung tuyến, ta có OE // MN. Bước 6: Vì E thuộc AC và O là trung điểm của AM mà M thuộc AC nên theo tính chất của đường trung tuyến, ta có B,E,O thẳng hàng. Kết luận: Từ Bước 5 và Bước 6, ta suy ra được OE // MN và B,E,O thẳng hàng.