Cho đa thức f(x) có bậc ba thỏa mãn f(1), f(3), f(5), f(7) là các số nguyên. Chứng minh rằng f(x) là số nguyên với mọi x lẻ

Question

truongnguyen315 · Accepted Answer

đợi xíu

Timi · Answer

Đây là một bài toán thuộc lớp Đại số, phần đa thức và đặc biệt liên quan đến tính chất của đa thức bậc ba.

Giả sử f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d (với a, b, c, d là các hằng số).

Theo giả thiết, ta có:

f(1) = a + b + c + d
f(3) = 27a + 9b + 3c + d
f(5) = 125a + 25b + 5c + d
f(7) = 343a + 49b + 7c + d

Từ đây ta có hệ phương trình tuyến tính với 4 biến.

Nhưng chúng ta không cần giải hệ này để tìm ra giá trị của a, b, c và d. Thay vào đó, chúng ta chỉ cần chứng minh rằng f(x) là số nguyên với mọi x lẻ.

Xét f(x+2)-f(x), ta có:

f(x+2)-f(x)=8ax^2+12ax+6a+4bx+2b+c=2(4ax^2+6ax+3a+2bx+b+c/2)

Vì f(1), f(3), f(5), f(7) là các số nguyên nên (4ax^2+6ax+3a+2bx+b+c/2) cũng là số nguyên.

Vậy f(x+2)-f(x) chia hết cho 2.

Tương tự, ta có:

f(x+4)-f(x+2)=32ax^2+24ax+6a+8bx+2b+c=2(16ax^2+12ax+3a+4bx+b+c/2)

Vì f(1), f(3), f(5), f(7) là các số nguyên nên (16ax^2+12ax+3a+4bx+b+c/2) cũng là số nguyên.

Vậy f(x+4)-f(x+2) chia hết cho 2.

Do đó, ta có thể kết luận rằng với mọi x lẻ, giá trị của đa thức f(x) cũng sẽ là một số nguyên.

HAICHAU · Answer

Đặt f (x) =ax^3 + b x ^2 + cx + d. Chúng ta biết f (1), f (3), f (5) và f (7) đều là số nguyên

Ta có thể viết hệ phương trình tuyến tính dựa trên thông tin này:

f (1) = a+b + c + d
f (3) =9a + 9b + 3c + d
f (5) = 25a + 25b + 5c + d
f (7) = 49a + 49b + 7c + d

Chúng tôi muốn chỉ ra rằng f (x) là một số nguyên cho x lẻ. Vì vậy, chúng ta cần phải chỉ ra rằng f ((2 k-1) ) là một số nguyên cho bất kỳ số nguyên k. Hãy xem xét vài giá trị của x:

Với x = 1, chúng ta biết f (1) là một số nguyên. Với x = 3, chúng ta biết f (3) là một số nguyên. Với x = 5, chúng ta biết f (5) là một số nguyên. Và nói chung nếu f (x) là số nguyên thì f (- x) cũng là số nguyên.

Vì vậy, hãy xem xét f (- x). chúng ta có thể thay thế - x cho x trong đa thức và nhận được:

f (- x) =d - cx + b x ^ 2 - ax ^ 3 = -df (- x)

Do đó, f (- x) là một số nguyên cho mỗi số nguyên x. Bây giờ, chúng ta có thể áp dụng kết quả tương tự cho f(-x):

f ((-2) k-1) ) = df((-2k-I)) = 0 cho tất cả các số nguyên k.

Điều này có nghĩa là f (x) là một số nguyên cho mọi x lẻ. Như vậy, f (x) là một đa thức bậc ba mà thoả mãn f (1), f (3), f (5), f (7), và f (x) là một số nguyên cho tất cả x lẻ.