cho 2024 số nguyên dương phân biệt a1, a2, a3,.., a2024 thoả mãn: $\frac{1}{a1}$ + $\frac{1}{a2}$ +.....+ $\frac{1}{a2024}$ = 12. Chứng minh: Trong 2024 số đã cho có ít nhất 2 số bằng nhau.

Question

cho 2024 số nguyên dương phân biệt a1, a2, a3,.., a2024 thoả mãn:  $\frac{1}{a1}$ + $\frac{1}{a2}$ +.....+ $\frac{1}{a2024}$ = 12. Chứng minh: Trong 2024 số đã cho có ít nhất 2 số bằng nhau.

_OFF_hg2 · Accepted Answer

Giả sử trong 2024 số đã cho không có 2 số nào bằng nhau không mất tính tổng quát ta có
$\displaystyle a_{1} < a_{2} < a_{3} < ...< a_{2024}$
Vì $\displaystyle a_{1} ,a_{2} ,...a_{2024}$ đều là các số nguyên dương
Suy ra $\displaystyle a_{1} \geqslant 1;a_{2} \geqslant 2;a_{3} \geqslant 3;...a_{2024} \geqslant 2024$
Suy ra
$\displaystyle \frac{1}{a_{1}} +\frac{1}{a_{2}} +\frac{1}{a_{3}} +...+\frac{1}{a_{2024}} \leqslant 1+\frac{1}{2} +\frac{1}{3} +...+\frac{1}{2024}$
Ta có
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
A=1+\frac{1}{2} +\frac{1}{3} +...+\frac{1}{2024}\
A=1+\left(\frac{1}{2} +\frac{1}{3} ight) +\left(\frac{1}{4} +\frac{1}{5} +\frac{1}{6} +\frac{1}{7} ight) +...+\left(\frac{1}{1024} +\frac{1}{1025} +...+\frac{1}{2024} ight)
\end{array}$
Suy ra $\displaystyle A< 1+\frac{1}{2} .2+\frac{1}{2^{2}} .2^{2} +\frac{1}{2^{3}} .2^{3} +...+\frac{1}{2^{10}} .1001< 1+\frac{1}{2} .2+\frac{1}{2^{2}} .2^{2} +...+\frac{1}{2^{10}} .2^{10}$
Suy ra $\displaystyle A< 1+1+1+...+1$ (11 chữ số 1)
Suy ra $\displaystyle A< 11$
Suy ra $\displaystyle \frac{1}{a_{1}} +\frac{1}{a_{2}} +\frac{1}{a_{3}} +...+\frac{1}{a_{2024}} < 11$
Lại có $\displaystyle \frac{1}{a_{1}} +\frac{1}{a_{2}} +\frac{1}{a_{3}} +...+\frac{1}{a_{2024}} =12$ (mâu thuẫn)
Suy ra điều giả sử sai
Vậy trong 2024 số phải có ít nhất 2 số bằng nhau

Timi · Answer

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp giả định ngược (proof by contradiction).

Giả sử rằng tất cả các số nguyên dương a1, a2, ..., a2024 đều là duy nhất và không có hai số nào trùng nhau. Khi đó, ta có thể viết lại phương trình ban đầu theo dạng tổng chung của các số nghịch đảo:

$$\frac{1}{a1} + \frac{1}{a2} + ... + \frac{1}{a2024} = 12$$

Ta biết rằng mỗi số nghịch đảo 1/ai là một số dương. Đồng thời, với giả thiết rằng tất cả các số ai là duy nhất, ta có thể áp dụng bất đẳng thức AM-HM (Arithmetic Mean - Harmonic Mean) để suy ra một điều kiện hạn chế:

Bất đẳng thức AM-HM: Với các số dương x1, x2, ..., xn,
$$\frac{x1 + x2 + ... + xn}{n} ≥ \frac{n}{\frac{1}{x1} + \frac{1}{x2} + ... + \frac{1}{xn}}$$

Áp dụng bất đẳng thức này vào phương trình ban đầu:
$$\frac{\frac{1}{a1} + \frac{1}{a2} + ... + \frac{1}{a2024}}{2024} ≥ \frac{2024}{\frac{2024}{a1} + \frac{2024}{a2} + ... + \frac{2024}{a2024}} = 12$$

Từ bất đẳng thức trên, ta suy ra được:
$$\frac{\frac{1}{a1} + \frac{1}{a2} + ... + \frac{1}{a2024}}{2024} ≥ 12$$
Tức là:
$$\frac{\sum_{i=0}^{2023}\left(\dfrac { 1 }{{ a }_{ i }}ight)}{{ 2024 }}≥ 12\ { 2016 }\geqslant { 24128 }\ { 0 }\geqslant { -22112 }$$

Như vậy, từ bước cuối cùng này, ta nhận thấy rằng đã xuất hiện mâu thuẫn. Do đó, giả thiết ban đầu rằng tất cả các số ai là duy nhất không thể thành công.

Vì vậy, kết luận cuối cùng là: Trong 2024 số đã cho có ít nhất 2 số bằng nhau. Không có mâu thuẫn được tìm thấy. Tuyên bố là chính xác.