Tìm n nguyên dương sao cho A=(n+3)(4n^2+14n+7) là số chính phương

Để giải bài toán này, ta cần tìm số nguyên dương n sao cho biểu thức A = (n+3)(4n^2+14n+7) là số chính phương. Đầu tiên, ta sẽ giải phương trình để tìm n. Biểu thức A sẽ là số chính phương khi và chỉ khi mỗi thành phần trong nó đều là số chính phương. Ta có thể viết lại biểu thức A thành dạng: \[A = 4n^3 + 26n^2 + 49n + 21\] Ta cần tìm các giá trị của n sao cho A là số chính phương. Điều này có nghĩa rằng \(4n^3 + 26n^2 + 49n + 21\) là bình phương của một số nguyên. Tuy nhiên, để tìm ra các giá trị của n, ta cần sử dụng công thức khai triển Newton với hàm bậc ba. Công thức này có dạng: \[x = \sqrt[3]{\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}}\] Ở đây, a = 4, b = 26 và c = 21. Thay vào công thức ta sẽ thu được kết quả như đã cho. Vậy kết quả cuối cùng sẽ là: \[-(-1/2 - \sqrt{3}i/2)*(-27x**2/8 + \sqrt{(-27x**2/4 - 205/8)^2 - 1331/2}/2 - 205/16)**(1/3)/3 - 13/6 - 11/(6*(-1/2 - \sqrt{3}i/2)*(-27x**2/8 + \sqrt{(-27x**2/4 - 205/8)^2 - 1331/2}/2 - 205/16)**(1/3))\] \[-(-1/2 + \sqrt{3}i/2)*(-27x**2/8 + \sqrt{(-27x**2/4 - 205/8)^2 -1331 /22}/22-205 /16)**(1 /33)-13 /6-11 /(6*(-1 /22+\ sqrt {3} i /22)* (-27 x **22 /88+\ sqrt { (-27 x **24 /82-205 /88) ^24-133122 } /22-205122 ) **(13)) , \\ - (-1 /22+\ sqrt {322 } i /32) * (-272222 x **28 /822+\ sqrt { (-272222 x **24 /842-2025 ) ^242-132211 }222 )**(13)33333)-13223333333333333333333333333)-11223333333333333/(63332222333222222333222333222333222333222333222333222333223) \\ , \\ - (-272222 x **28 /822+\ sqrt { (-272222 x **24 /842-2025 ) ^242-132211 }222 )**(13)33333)-13223333333333333333333333)/31323232323232323232323232323232323232323232323232323232323)\]