Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn vầ AB

Question

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn vầ AB<AC. Kẻ Be vuông góc với AC tại E, CF vuông góc với AB tại F, BE cắt CF tại H. Kẻ HQ//AC,HP//AB (Q thuộc AB, P thuộc AC)
A, Chứng minh tam giác AHQ = tam giác HAP
B, Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh tam giác MÈ cân và goác AEF = góc ABC
C, Chứng minh HA+HB+HC< 2/3. (AB+AC+BC)

Accepted Answer

a, Vì $\displaystyle HP\parallel AB$ nên $\displaystyle \widehat{QAH} =\widehat{PHA}$ (2 góc so le trong)
Vì $\displaystyle HQ\parallel AC$ nên $\displaystyle \widehat{AHQ} =\widehat{HAP}$ (2 góc so le trong)
Xét $\displaystyle \vartriangle AHQ$ và $\displaystyle \vartriangle HAP$ có:
$\displaystyle \widehat{QAH} =\widehat{PHA}$
AH: cạnh chung
$\displaystyle \widehat{AHQ} =\widehat{HAP}$
Do đó $\displaystyle \vartriangle AHQ=\vartriangle HAP$(g.c.g)
b, Xét $\displaystyle \vartriangle BFC$ vuông tại F có FM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền
$\displaystyle \Longrightarrow FM=\frac{BC}{2}$ (1)
Xét $\displaystyle \vartriangle BEC$ vuông tại E có EM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền
$\displaystyle \Longrightarrow EM=\frac{BC}{2} \ ( 2)$
Từ (1) và (2) có: $\displaystyle FM=EM$
$\displaystyle \Longrightarrow \vartriangle MEF$ cân tại M

Xét $\displaystyle \vartriangle ABE$ vuông tại E và $\displaystyle \vartriangle ACF$ vuông tại F có:
$\displaystyle \widehat{BAC} :$góc chung
Do đó $\displaystyle \vartriangle ABE\backsim \vartriangle ACF$ (g.g)
$\displaystyle \Longrightarrow \frac{AB}{AC} =\frac{AE}{AF} \Longrightarrow \frac{AE}{AB} =\frac{AF}{AC}$
Xét $\displaystyle \vartriangle AEF$ và $\displaystyle \vartriangle ABC$ có:
$\displaystyle \frac{AE}{AB} =\frac{AF}{AC}$
$\displaystyle \widehat{BAC} :$góc chung
Do đó $\displaystyle \vartriangle AEF\backsim \vartriangle ABC$ (c.g.c)
$\displaystyle \Longrightarrow \widehat{AEF} =\widehat{ABC}$ (2 góc tương ứng)

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn vầ AB<AC. Kẻ Be vuông góc với AC tại E, CF vuông góc với AB tại F, BE cắt CF tại H. Kẻ HQ//AC,HP//AB (Q thuộc AB, P thuộc AC) A, Chứng minh tam giác AHQ = tam giác HAP B,...