.Cho a2, b2, c2 là độ dài các cạnh của một tam giác nào đó và a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác ABC. Khi đó, tam giác ABC là tam giác gì?

Vì a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác ABC nên a, b, c > 0 
⟹ ab>0; ac>0; bc>0 (1)
$\displaystyle a^{2} ,\ b^{2} ,\ c^{2}$ là độ dài các cạnh của một tam giác nên theo bất đẳng thức tam giác, ta có: 
⟹ $\displaystyle a^{2} +b^{2} −c^{2}  >0;\ b^{2} +c^{2} −a^{2}  >0;\ a^{2} +c^{2} −b^{2}  >0$ (2)
Áp dụng định lý côsin trong tam giác ABC ta có:
$\displaystyle  \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
a^{2} =b^{2} +c^{2} −2bc.cosA\\
b^{2} =a^{2} +c^{2} −2ac.cosB\\
c^{2} =a^{2} +b^{2} −2ab.cosC
\end{array}$
⇒$\displaystyle  \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
cosA=\frac{b^{2} +c^{2} −a^{2}}{2bc}\\
cosB=\frac{a^{2} +c^{2} −b^{2}}{2ac}\\
cosC=\frac{a^{2} +b^{2} −c^{2}}{2ab}
\end{array}$ (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra cos A > 0 (vì bc > 0; $\displaystyle b^{2} +c^{2} −a^{2}  >0$)
cos B > 0 (vì ac > 0; $\displaystyle a^{2} +c^{2} −b^{2}  >0$); cos C > 0 (vì ab > 0; $\displaystyle a^{2} +b^{2} −c^{2}  >0$).
Vì cos A > 0; cos B > 0; cos C > 0 
⇒$\displaystyle \hat{A} ,\ \hat{B} ,\ \hat{C}$ là ba góc nhọn.
Vậy tam giác ABC là tam giác nhọn