tính :
G = 1 + $\frac{9}{45}$ + $\frac{9}{105}+\frac{9}{189}+...+\frac{9\frac{}{}}{29997}$

Question

tính :
 G = 1 + $\frac{9}{45}$ + $\frac{9}{105}+\frac{9}{189}+...+\frac{9\frac{}{}}{29997}$

giangnguyen3413 · Accepted Answer

$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
G=1+\frac{9}{45} +\frac{9}{105} +\frac{9}{189} +....+\frac{9}{29997}\
\ \ \ =1+\frac{3}{15} +\frac{3}{35} +\frac{3}{63} +....+\frac{3}{9999}\
\frac{2}{3} G=\frac{2}{3} +\frac{2}{3.5} +\frac{2}{5.7} +\frac{2}{7.9} +...+\frac{2}{99.101}\
\ \ \ \ \ \ =\frac{2}{3} +\frac{1}{3} -\frac{1}{5} +\frac{1}{5} -\frac{1}{7} +\frac{1}{7} -\frac{1}{9} +....+\frac{1}{99} -\frac{1}{101}\
\ \ \ \ \ \ \ =1-\frac{1}{101} =\frac{100}{101}\
ightarrow G=\frac{300}{202\ }
\end{array}$

Timi · Answer

Ta có thể nhận thấy rằng, mẫu số của mỗi phân số là một số có dạng $3n^2 + 3n$, trong đó $n$ là số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 49.

Ta có thể biến đổi phân số $\frac{9}{3n^2 + 3n}$ thành $\frac{3}{n(n+1)}$.

Thật vậy, ta có:

$$\frac{9}{3n^2 + 3n} = \frac{9}{3n(n+1)} = \frac{3}{n(n+1)}$$.

Vậy, G = 1 + $$\frac{9}{45}$$ + $$\frac{9}{105}+\frac{9}{189}+...+\frac{9\frac{}{}}{29997}$$ = 1 + $$\frac{3}{1*2}$$ + $$\frac{3}{2*3}$$ + $$\frac{3}{3*4}$$ + ... + $$\frac{3}{49*50}$$.

Ta thấy rằng, tổng này là một tổng các phân số có dạng $\frac{3}{n(n+1)}$, và nó có thể được rút gọn thành 1 - $\frac{3}{50}$.

Thật vậy, ta có:

$$\frac{3}{1*2}$$ - $$\frac{3}{2*3}$$ + $$\frac{3}{2*3}$$ - $$\frac{3}{3*4}$$ + ... + $$\frac{3}{49*50}$$ = $$\frac{3}{1*2}$$ - $$\frac{3}{50*51}$$ = 1 - $\frac{3}{50}$.

Vậy, G = 1 - $\frac{3}{50}$ = $\frac{47}{50}$.

tính : G = 1 + $\frac{9}{45}$ + $\frac{9}{105}+\frac{9}{189}+...+\frac{9\frac{}{}}{29997}$