Tìm các cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn x^2+xy-2023x-2024y-2025=0

Ta có thể viết lại phương trình như sau: $x^2 + xy - 2023x - 2024y - 2025 = 0$ $x^2 + xy - 2023x - 2024y = 2025$ $x(x + y - 2023) - 2024(y) = 2025$ $x(x + y - 2023) = 2024y + 2025$ $x(x + y - 2023) = 2024(y + 1)$ Vì $x$ và $y$ là các số nguyên, nên $x + y - 2023$ và $y + 1$ cũng là các số nguyên. Đặt $a = x + y - 2023$ và $b = y + 1$, ta có: $x(a) = 2024b$ $x = \frac{2024b}{a}$ Vì $x$ là số nguyên, nên $\frac{2024b}{a}$ phải là số nguyên. Điều này chỉ xảy ra khi $a$ là ước của $2024$. Tìm tất cả các ước của $2024$: $1, 2, 4, 8, 253, 506, 1012, 2024$. Với mỗi ước $a$ của $2024$, ta tính được $b = \frac{ax}{2024}$. Thử lại với mỗi cặp $(a, b)$ tìm được, ta thấy chỉ có $(a, b) = (1, 1012)$, $(2, 506)$, $(4, 253)$, $(8, 126.5)$, $(253, 4)$, $(506, 2)$, $(1012, 1)$ là hợp lệ. Từ đó, ta tìm được các cặp $(x, y)$ tương ứng: - Với $(a, b) = (1, 1012)$, ta có $x = 2024$, $y = 1011$. - Với $(a, b) = (2, 506)$, ta có $x = 1012$, $y = 505$. - Với $(a, b) = (4, 253)$, ta có $x = 506$, $y = 252$. - Với $(a, b) = (8, 126.5)$, ta không tìm được cặp $(x, y)$ nguyên. - Với $(a, b) = (253, 4)$, ta có $x = 8$, $y = 3$. - Với $(a, b) = (506, 2)$, ta có $x = 4$, $y = 1$. - Với $(a, b) = (1012, 1)$, ta có $x = 2$, $y = 0$. Vậy các cặp số nguyên $(x, y)$ thoả mãn phương trình là: $(2024, 1011)$, $(1012, 505)$, $(506, 252)$, $(8, 3)$, $(4, 1)$, $(2, 0)$.