Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A=26/|13x-1|+|x-1|+|13x-14|

Question

3thuy · Accepted Answer

ta có

$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
A=\frac{26}{|13x-1|+|x-1|+|13x-14|}\
=\frac{26}{|13x-1|+|x-1|+|14-13x|}
\end{array}$

mặt khác ta có

$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
|13x-1|+|14-13x|\geqslant |13x-1+14-13x|=13\
\Leftrightarrow |13x-1|+|14-13x|+|x-1|\geqslant 13+|x-1|\geqslant 13\
\Leftrightarrow \frac{26}{|13x-1|+|14-13x|+|x-1|} \leqslant \frac{26}{13} =2\
\Leftrightarrow A\leqslant 2
\end{array}$

đẳng thức xảy ra khi

$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\begin{cases}
( 13x-1)( 14-13x) \geqslant 0 & \
x-1=0 &
\end{cases}\
\Leftrightarrow \begin{cases}
\frac{1}{13} \leqslant x\leqslant \frac{14}{13} & \
x=1 &
\end{cases}\
\Leftrightarrow x=1
\end{array}$

vậy MaxA=2 xảy ra tại x=1

Timi · Answer

Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A, ta cần tìm các giá trị của x để A đạt giá trị lớn nhất.

Ta có:

A = |13x - 1| + |x - 1| + |13x - 14|

Áp dụng tính chất |a| = -a nếu a < 0 và |a| = a nếu a ≥ 0, ta có thể viết lại A như sau:

A = (13x - 1) + (x - 1) + (13x - 14) nếu 13x - 1 ≥ 0, x - 1 ≥ 0 và 13x - 14 ≥ 0
A = -(13x - 1) + (x - 1) + (13x - 14) nếu 13x - 1 < 0, x - 1 ≥ 0 và 13x - 14 ≥ 0
A = (13x - 1) + -(x - 1) + (13x - 14) nếu 13x - 1 ≥ 0, x - 1 < 0 và 13x - 14 ≥ 0
A = (13x - 1) + (x - 1) + -(13x - 14) nếu 13x - 1 ≥ 0, x - 1 ≥ 0 và 13x - 14 < 0
A = -(13x - 1) + -(x - 1) + (13x - 14) nếu 13x - 1 < 0, x - 1 < 0 và 13x - 14 ≥ 0
A = -(13x - 1) + (x - 1) + -(13x - 14) nếu 13x - 1 < 0, x - 1 ≥ 0 và 13x - 14 < 0
A = (13x - 1) + -(x - 1) + -(13x - 14) nếu 13x - 1 ≥ 0, x - 1 < 0 và 13x - 14 < 0

Tuy nhiên, vì |a| ≥ 0 với mọi a, nên A luôn không âm. Do đó, A đạt giá trị lớn nhất khi A = (13x - 1) + (x - 1) + (13x - 14).

Giải phương trình (13x - 1) + (x - 1) + (13x - 14) = 0, ta được:

27x - 16 = 0
27x = 16
x = 16/27

Thay x = 16/27 vào A, ta được:

A = (13 * 16/27 - 1) + (16/27 - 1) + (13 * 16/27 - 14)
A = (208/27 - 27/27) + (16/27 - 27/27) + (208/27 - 438/27)
A = (208 - 27)/27 + (16 - 27)/27 + (208 - 438)/27
A = 181/27 + (-11)/27 + (-230)/27
A = (181 - 11 - 230)/27
A = -54/27
A = -2

Vậy giá trị lớn nhất của A là -2.