tìm năm số tự nhiên liên tiếp , biết rằng tổng các lập phương của bốn số đầu hơn lập phương của số thứ năm là 8

Gọi số thứ nhất là $x$, thì bốn số đầu là $x, x+1, x+2, x+3$. Theo đề bài, ta có phương trình: \[(x^3 + (x+1)^3 + (x+2)^3 + (x+3)^3) - (x+4)^3 = 8.\] Tính các lập phương, ta được: \[(x^3 + (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) + (x^3 + 6x^2 + 12x + 8) + (x^3 + 9x^2 + 27x + 27)) - (x^3 + 12x^2 + 48x + 64) = 8.\] Thu gọn vế trái, ta được: \[4x^3 + 18x^2 + 54x + 64 - x^3 - 12x^2 - 48x - 64 = 8,\] hay \[3x^3 + 6x^2 + 6x = 8.\] Nhân hai vế với 4, ta được: \[12x^3 + 24x^2 + 24x = 32.\] Biến đổi vế trái, ta được: \[(2x + 1)^3 = 32.\] Từ đây, ta có: \[2x + 1 = \sqrt[3]{32} = 32^{1/3} = 4,\] nên \[2x = 4 - 1 = 3,\] và \[x = \frac{3}{2}.\] Nhưng $x$ phải là số nguyên, nên ta có thể kết luận rằng phương trình này vô nghiệm. Tuy nhiên, ta có thể nhận thấy rằng nếu $x$ là số nguyên thì $x, x+1, x+2, x+3, x+4$ là năm số tự nhiên liên tiếp. Thử lại với $x = 1$, ta có năm số tự nhiên liên tiếp là $1, 2, 3, 4, 5$. Tính toán, ta được: \[(1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3) - 5^3 = (1 + 8 + 27 + 64) - 125 = 90 - 125 = -35.\] Điều này không thỏa mãn điều kiện bài toán. Thử lại với $x = 2$, ta có năm số tự nhiên liên tiếp là $2, 3, 4, 5, 6$. Tính toán, ta được: \[(2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3) - 6^3 = (8 + 27 + 64 + 125) - 216 = 224 - 216 = 8.\] Điều này thỏa mãn điều kiện bài toán. Vậy năm số tự nhiên liên tiếp cần tìm là $2, 3, 4, 5, 6$.