Bài 1: Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 60m. Nếu tăng chiều dài lên 6m và tang chiều rộng lên 2m thì diện tích tăng thêm 96m2. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn lúc đầu. Bài 2: Một ô tô...

Bài 1: Gọi chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn lúc đầu lần lượt là $x$ và $y$. Theo đề bài, ta có hệ phương trình: 1) $2(x + y) = 60$ (vì chu vi hình chữ nhật là $2(x + y)$ và bằng $60$) 2) $(x + 6)(y + 2) - xy = 96$ (vì diện tích hình chữ nhật mới là $(x + 6)(y + 2)$, diện tích hình chữ nhật cũ là $xy$, và hiệu của hai diện tích này bằng $96$) Từ phương trình 1), ta có: $x + y = 30$, suy ra $y = 30 - x$. Thay $y = 30 - x$ vào phương trình 2), ta được: $(x + 6)(30 - x + 2) - x(30 - x) = 96$ $(x + 6)(32 - x) - x(30 - x) = 96$ $32x + 192 - x^2 - 6x - 30x + x^2 = 96$ $192 - 4x = 96$ $4x = 96$ $x = 24$. Thay $x = 24$ vào $y = 30 - x$, ta được $y = 6$. Vậy chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn lúc đầu lần lượt là $24$m và $6$m. Bài 2: Gọi vận tốc của ô tô là $x$ (km/h) và vận tốc của xe máy là $y$ (km/h). Theo bài ra, ta có hệ phương trình: $\begin{cases} x + y = 100 \\ (x + 10) = 2(y - 5) \end{cases}$ Giải hệ phương trình này, ta được: $\begin{cases} x + y = 100 \\ x + 10 = 2y - 10 \end{cases}$ $\begin{cases} x + y = 100 \\ x - 2y = -20 \end{cases}$ Cộng hai phương trình lại, ta được: $3y = 120 \Rightarrow y = 40.$ Thay $y = 40$ vào phương trình $x + y = 100$, ta được: $x + 40 = 100 \Rightarrow x = 60.$ Vậy vận tốc của ô tô là $60$ km/h và vận tốc của xe máy là $40$ km/h. Bài 3: Gọi vận tốc của xe tải là $x$ (km/h). Theo đề bài, vận tốc của xe máy là $x + 10$ (km/h). Xe máy đi trước 15 phút, tức là $\frac{15}{60} = 0.25$ giờ. Sau đó, cả hai xe cùng đi và gặp nhau sau 1 giờ 45 phút, tức là $\frac{1\text{ giờ }45\text{ phút}}{1\text{ giờ}} = 1.75$ giờ. Khi hai xe gặp nhau, tổng quãng đường của chúng bằng quãng đường từ Tp Hồ Chí Minh đến Cần Thơ, tức là 170km. Quãng đường xe máy đi được trong khoảng thời gian $0.25 + 1.75 = 2$ giờ là $(x + 10) \cdot 2 = 2x + 20$ km. Quãng đường xe tải đi được trong khoảng thời gian 1.75 giờ là $x \cdot 1.75 = 1.75x$ km. Vậy ta có phương trình: $2x + 20 + 1.75x = 170$. Giải phương trình này, ta có: \[3.75x + 20 = 170 \Rightarrow 3.75x = 150 \Rightarrow x = \frac{150}{3.75} = 40.\] Vậy vận tốc của xe tải là 40 km/h, vận tốc của xe máy là $40 + 10 = 50$ km/h. Bài 4: Gọi chiều rộng của khu vườn lúc đầu là $x$ (m), khi đó chiều dài của khu vườn là $x + 5$ (m). Diện tích khu vườn lúc đầu là $x(x + 5) = x^2 + 5x$ (m2). Nếu giảm chiều rộng đi 3m thì chiều rộng mới là $x - 3$ (m), khi đó chiều dài vẫn là $x + 5$ (m). Diện tích khu vườn mới là $(x - 3)(x + 5) = x^2 + 5x - 3x - 15 = x^2 + 2x - 15$ (m2). Theo bài ra, diện tích khu vườn mới nhỏ hơn diện tích khu vườn lúc đầu là 45 m2, nên ta có phương trình: $x^2 + 5x - (x^2 + 2x - 15) = 45.$ Rút gọn phương trình, ta được: $3x - 15 = 45.$ Giải phương trình này, ta được: $3x = 60 \Rightarrow x = 20.$ Vậy chiều rộng của khu vườn lúc đầu là 20m, chiều dài là $20 + 5 = 25$m. Diện tích khu vườn lúc đầu là $20 \times 25 = 500$ (m2). Bài 5: Gọi thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc là $x$ (giờ), thời gian người thứ hai làm một mình xong công việc là $y$ (giờ). Khi đó, năng suất của người thứ nhất là $\frac{1}{x}$ (công việc/giờ), năng suất của người thứ hai là $\frac{1}{y}$ (công việc/giờ). Hai người cùng làm thì xong công việc trong 16 giờ, nên năng suất của hai người cộng lại là $\frac{1}{16}$ (công việc/giờ), ta có phương trình: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{16}.$ Người thứ nhất làm trong 3 giờ, người thứ hai làm trong 6 giờ thì họ làm được 25% công việc, nên ta có phương trình: $3\cdot\frac{1}{x} + 6\cdot\frac{1}{y} = \frac{1}{4}.$ Ta có hệ phương trình: $\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{16} \\ 3\cdot\frac{1}{x} + 6\cdot\frac{1}{y} = \frac{1}{4} \end{cases}.$ Nhân phương trình thứ nhất với 3, ta được: $3\cdot\frac{1}{x} + 3\cdot\frac{1}{y} = \frac{3}{16}.$ Lấy phương trình thứ hai trừ đi phương trình mới nhận được, ta được: $3\cdot\frac{1}{y} = \frac{1}{4} - \frac{3}{16} = \frac{1}{16}.$ Suy ra: $\frac{1}{y} = \frac{1}{48}.$ Do đó, thời gian người thứ hai làm một mình xong công việc là $y = 48$ (giờ). Thay $\frac{1}{y} = \frac{1}{48}$ vào phương trình thứ nhất, ta được: $\frac{1}{x} + \frac{1}{48} = \frac{1}{16}.$ Suy ra: $\frac{1}{x} = \frac{1}{16} - \frac{1}{48} = \frac{1}{48}.$ Do đó, thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc là $x = 48$ (giờ). Vậy người thứ nhất làm một mình xong công việc trong 48 giờ, người thứ hai làm một mình xong công việc trong 48 giờ. Bài 5: 1) Ag + Cl₂ → AgCl Đặt hệ số cho các chất: a Ag + b Cl₂ → c AgCl Phương trình cho nguyên tố Ag: a = c (1) Phương trình cho nguyên tố Cl: 2b = c (2) Giải hệ phương trình (1) và (2): Từ (1) ta có: a = c Thay vào (2): 2b = a => 2b = c => b = c/2 Chọn a = c = 1, thay vào b = c/2 => b = 1/2. Vì hệ số phải là số nguyên, nên ta nhân tất cả hệ số với 2 để bỏ số nguyên tử lẻ. Khi đó ta có: 2 Ag + Cl₂ → 2 AgCl 2) CO₂ + C → CO Đặt hệ số cho các chất: a CO₂ + b C → c CO Phương trình cho nguyên tố C: a + b = c (1) Phương trình cho nguyên tố O: 2a = c (2) Giải hệ phương trình (1) và (2): Từ (2) ta có: c = 2a Thay vào (1): a + b = 2a => b = a Chọn a = 1, thay vào b = a => b = 1 và c = 2a => c = 2 Vậy phương trình hoá học được cân bằng là: CO₂ + C → 2 CO 3) HgO → Hg + O₂ Đặt hệ số cho các chất: a HgO → b Hg + c O₂ Phương trình cho nguyên tố Hg: a = b (1) Phương trình cho nguyên tố O: a = 2c (2) Giải hệ phương trình (1) và (2): Từ (1) ta có: a = b Thay vào (2): a = 2c => b = 2c => a/2 = c Chọn a = 2, thay vào b = a => b = 2 và a/2 = c => c = 1 Vậy phương trình hoá học được cân bằng là: 2 HgO → 2 Hg + O₂ 4) NO + O₂ → NO₂ Đặt hệ số cho các chất: a NO + b O₂ → c NO₂ Phương trình cho nguyên tố N: a = c (1) Phương trình cho nguyên tố O: 2b = 2a (2) Giải hệ phương trình (1) và (2): Từ (1) ta có: a = c Thay vào (2): 2b = 2a => b = a Chọn a = 1, thay vào b = a => b = 1 và a = c => c = 1 Vậy phương trình hoá học được cân bằng là: NO + O₂ → NO₂ Bài 6: Để tính được số tiền ít nhất bác Ngọc phải gửi, chúng ta cần sử dụng công thức tính lãi kép: T = A(1 + r)^n, trong đó T là tổng số tiền nhận được, A là số tiền gửi ban đầu, r là lãi suất và n là số kì hạn. Trong bài toán này, T = 21 440 000 đồng, r = 7,2%/năm = 0,072/năm (vì kì hạn là 12 tháng hay 1 năm), n = 1. Chúng ta cần tìm A, ta có: 21 440 000 = A(1 + 0,072)^1 21 440 000 = A(1,072) A = 21 440 000 / 1,072 A ≈ 20 000 000 đồng. Vậy bác Ngọc phải gửi ít nhất 20 000 000 đồng để đạt được dự định của mình. Bài 7: Chị Cúc gửi tiền tiết kiệm với lãi suất 6,5%/năm, kì hạn 12 tháng (1 năm). Giả sử số tiền gửi là $x$ đồng. Số tiền lãi sau 1 năm là $x \cdot \frac{6,5}{100} = 0,065x$ đồng. Tổng số tiền nhận được sau 1 năm là $x + 0,065x = 1,065x$ đồng. Chị Cúc dự định tổng số tiền nhận được sau khi gửi 12 tháng ít nhất là 319 500 000 đồng. Nên ta có phương trình: $1,065x \geq 319500000$. Giải phương trình này, ta được: $x \geq \frac{319500000}{1,065} \approx 300000000$. Vậy Chị Cúc phải gửi số tiền tiết kiệm ít nhất là 300 000 000 đồng để đạt được dự định đó. Bài 8: Để tính số lượng áo sơ mi mà doanh nghiệp cần bán để thu được lợi nhuận ít nhất là 1,38 tỉ đồng trong một năm, chúng ta cần tính tổng doanh thu cần thu được trong một năm (bao gồm chi phí và lợi nhuận cần thu được) rồi chia cho giá bán mỗi chiếc áo. Tổng doanh thu cần thu được trong một năm bao gồm chi phí và lợi nhuận cần thu được là: 410 triệu đồng/tháng x 12 tháng + 1,38 tỉ đồng = 4920 triệu đồng + 1380 triệu đồng = 6300 triệu đồng. Giá bán mỗi chiếc áo là 350 nghìn đồng = 0,35 triệu đồng. Số lượng áo sơ mi cần bán trong một năm là: 6300 triệu đồng / 0,35 triệu đồng/chiếc = 18000 chiếc. Vậy trung bình mỗi tháng doanh nghiệp phải bán ít nhất 18000 chiếc áo sơ mi / 12 tháng = 1500 chiếc áo sơ mi. Bài 9: Mỗi ngày kho xuất đi 20 tấn xi măng, nên sau x ngày, số xi măng đã xuất đi là 20x tấn. Khối lượng xi măng còn lại trong kho sau x ngày là: 100 - 20x tấn. Theo đề bài, khối lượng xi măng còn lại ít nhất là 10 tấn, nên ta có bất phương trình: 100 - 20x ≥ 10. Giải bất phương trình này, ta được: 100 - 20x ≥ 10 ⇔ 20x ≤ 90 ⇔ x ≤ 4,5. Vì x là số ngày xuất xi măng, nên x phải là số nguyên dương. Do đó, x phải là số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng 4,5. Số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện này là 5. Vậy số ngày xuất xi măng tối đa là 5 ngày. Bài 10: Đầu tiên, chúng ta biết rằng có 35 người hiến máu ở mức 350 ml. Vậy tổng lượng máu do 35 người này hiến ra là $35 \times 350 = 12250$ ml. Lượng máu thu được là 22600 ml, nên lượng máu do những người hiến máu ở mức 450 ml là $22600 - 12250 = 10350$ ml. Số người hiến máu ở mức 450 ml là $\frac{10350}{450} = 23$ người. Vậy trong buổi sáng hôm đó đã có ít nhất 23 người hiến máu ở mức 450 ml.