Bài toán: Tìm số tự nhiên $x$ biết rằng: $3x + 2 = 11$.
Để giải phương trình này, chúng ta cần tìm cách tách biến $x$ ra khỏi biểu thức. Đầu tiên, chúng ta trừ 2 ở cả hai vế của phương trình:
$3x + 2 - 2 = 11 - 2.$
Điều này cho chúng ta:
$3x = 9.$
Sau đó, chúng ta chia cả hai vế của phương trình cho 3:
$\frac{3x}{3} = \frac{9}{3}.$
Điều này cho chúng ta:
$x = 3.$
Vậy, nghiệm của phương trình là $x = 3$.
Bài 1.
Đầu tiên, ta cần tìm một số thỏa mãn các điều kiện sau:
- Số đó là một số tự nhiên trong khoảng từ 200 đến 400.
- Khi chia số đó cho 12, 15 và 18 đều dư 5.
Gọi số học sinh cần tìm là $x$. Theo đề bài, ta có:
$x \equiv 5 \pmod{12},$
$x \equiv 5 \pmod{15},$
$x \equiv 5 \pmod{18}.$
Ta có thể tìm một số thỏa mãn các điều kiện trên bằng cách liệt kê các số tự nhiên từ 200 đến 400 và kiểm tra xem số nào khi chia cho 12, 15 và 18 đều dư 5.
Sau khi liệt kê và kiểm tra, ta tìm được số thỏa mãn các điều kiện trên là $x = 305$.
Vậy số học sinh của trường đó là 305.
Bài 2.
Đầu tiên, ta cần tìm các số tự nhiên $x$ nhỏ hơn 400 sao cho khi chia $x$ cho 10, 12, 15 đều dư 3 và không chia hết cho 11.
Nếu $x$ chia cho 10, 12, 15 đều dư 3 thì $x - 3$ chia hết cho 10, 12, 15. Tức là $x - 3$ là bội chung của 10, 12, 15.
Ta tìm BCNN(10, 12, 15) = 60.
Tìm các bội của 60: 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480.
Cộng thêm 3 vào mỗi số trên, ta được các số: 63, 123, 183, 243, 303, 363, 423, 483.
Số học sinh khối 6 của trường là một trong các số trên.
Ta kiểm tra xem số nào không chia hết cho 11.
63 chia 11 dư 1, 123 chia 11 dư 1, 183 chia 11 dư 1, 243 chia 11 dư 1, 303 chia 11 dư 1, 363 chia 11 dư 1, 423 chia 11 dư 1, 483 chia 11 dư 1.
Vậy số học sinh khối 6 của trường là 483.
Bài 3.
Để tìm số phần thưởng lớn nhất mà số quyển vở và số bút trong mỗi phần thưởng là bé nhất, ta cần tìm ước chung lớn nhất (GCD) của 120 và 72.
Phân tích 120 và 72 ra thừa số nguyên tố:
$120 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5$
$72 = 2^3 \cdot 3^2$
Tìm GCD:
$GCD(120, 72) = 2^3 \cdot 3 = 24$
Vậy có thể chia được thành 24 phần thưởng để số quyển vở và số bút trong mỗi phần thưởng là bé nhất.
Bài 4.
Để tìm số hàng ít nhất mà có thể phân công học sinh đứng thành, chúng ta cần tìm ước chung lớn nhất (GCD) của số học sinh thi mỗi môn.
Số học sinh thi Ngữ văn là 96, số học sinh thi Toán là 120, số học sinh thi Tiếng Anh là 72.
Ta tìm GCD(96, 120, 72).
Trước hết, ta phân tích các số này ra thừa số nguyên tố:
96 = 2^5 * 3
120 = 2^3 * 3 * 5
72 = 2^3 * 3^2
GCD(96, 120, 72) = 2^3 * 3 = 24.
Vậy có thể phân công học sinh đứng thành 24 hàng để số học sinh mỗi môn trong một hàng ít nhất.
Bài 5.
a) Vì $UCLN(a,b)=6$ nên $a=6m$ và $b=6n$ với $m$ và $n$ là hai số tự nhiên nguyên tố cùng nhau.
Thay vào phương trình $a+b=48$, ta có $6m+6n=48$ hay $m+n=8$.
Vì $m$ và $n$ là hai số tự nhiên nguyên tố cùng nhau nên các cặp $(m,n)$ thỏa mãn $m+n=8$ là $(1,7)$, $(3,5)$, $(5,3)$, $(7,1)$.
Kiểm tra lại, ta thấy chỉ có cặp $(3,5)$ là thỏa mãn $UCLN(a,b)=6$.
Vậy $a=6m=6.3=18$ và $b=6n=6.5=30$.
b) Vì $UCLN(a,b)=32$ nên $a=32m$ và $b=32n$ với $m$ và $n$ là hai số tự nhiên nguyên tố cùng nhau.
Thay vào phương trình $a.b=6144$, ta có $32m.32n=6144$ hay $m.n=6$.
Các cặp $(m,n)$ thỏa mãn $m.n=6$ là $(1,6)$, $(2,3)$, $(3,2)$, $(6,1)$.
Kiểm tra lại, ta thấy chỉ có cặp $(2,3)$ là thỏa mãn $UCLN(a,b)=32$.
Vậy $a=32m=32.2=64$ và $b=32n=32.3=96$.
c) Vì $BCNN(a,b)=204$ nên $a=204m/UCLN(a,b)$ và $b=204n/UCLN(a,b)$ với $m$ và $n$ là hai số tự nhiên nguyên tố cùng nhau.
Vì $a.b=6936$ nên $204m.204n/UCLN^2(a,b)=6936$ hay $m.n=18$.
Các cặp $(m,n)$ thỏa mãn $m.n=18$ là $(1,18)$, $(2,9)$, $(3,6)$, $(6,3)$, $(9,2)$, $(18,1)$.
Kiểm tra lại, ta thấy chỉ có cặp $(3,6)$ là thỏa mãn $UCLN(a,b)=204/6=34$.
Vậy $a=204m/UCLN(a,b)=204.3/34=18$ và $b=204n/UCLN(a,b)=204.6/34=36$.
Vậy các cặp $(a,b)$ là:
a) $(a,b)=(18,30)$
b) $(a,b)=(64,96)$
c) $(a,b)=(18,36)$.