A=1/19+9/19.29+9/29.39+......+9/1999.2009 *Giải hộ mình câu này với các bạn

Đầu tiên, chúng ta có thể thấy rằng mỗi số hạng trong tổng A đều có dạng $\frac{9}{19(n+1000) - 1000}$. Bây giờ, chúng ta sử dụng kỹ thuật nhóm các số hạng để rút gọn tổng A. Chúng ta có thể nhóm các số hạng theo cách sau: $A = \left(\frac{1}{19} - \frac{9}{19.29}\right) + \left(\frac{9}{29.39} - \frac{9}{39.49}\right) + \ldots + \left(\frac{9}{1999.2009} - \frac{9}{2009.2019}\right).$ Rút gọn từng nhóm: $A = \frac{1}{19} - \frac{9}{2009.2019}.$ Vì $\frac{9}{2009.2019}$ rất nhỏ so với $\frac{1}{19}$, nên A xấp xỉ bằng $\frac{1}{19}$. Vậy, $A \approx \frac{1}{19}$. Tuy nhiên, đây chỉ là một xấp xỉ. Để tìm giá trị chính xác của A, chúng ta cần tính tổng A theo công thức ban đầu. Tuy nhiên, đây là một tổng vô hạn, và nó không có một công thức đơn giản để tính. Tuy nhiên, chúng ta có thể chứng minh rằng tổng A bằng $\frac{1}{19}$. Chúng ta có thể chứng minh bằng quy nạp rằng: $\sum_{n=1}^{k} \frac{9}{19n + 1000(n-1)} = \frac{1}{19} - \frac{9}{19(k+1) + 1000k}.$ Với $k = 1$, ta có: $\frac{9}{19.1001} = \frac{1}{19} - \frac{9}{19.1001},$ Điều này đúng. Giả sử đẳng thức đúng với $k = m$, tức là: $\sum_{n=1}^{m} \frac{9}{19n + 1000(n-1)} = \frac{1}{19} - \frac{9}{19(m+1) + 1000m}.$ Ta cần chứng minh đẳng thức cũng đúng với $k = m+1$, tức là: $\sum_{n=1}^{m+1} \frac{9}{19n + 1000(n-1)} = \frac{1}{19} - \frac{9}{19((m+1)+1) + 1000(m+1)}.$ Thật vậy, ta có: $\sum_{n=1}^{m+1} \frac{9}{19n + 1000(n-1)} = \sum_{n=1}^{m} \frac{9}{19n + 1000(n-1)} + \frac{9}{19(m+1) + 1000m}.$ Theo giả thiết quy nạp, đẳng thức trên trở thành: $\left(\frac{1}{19} - \frac{9}{19(m+1) + 1000m}\right) + \frac{9}{19(m+1) + 1000m} = \frac{1}{19} - \frac{9}{19((m+1)+1) + 1000(m+1)}.$ Đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy, theo nguyên lý quy nạp, ta có: $\sum_{n=1}^{k} \frac{9}{19n + 1000(n-1)} = \frac{1}{19} - \frac{9}{19(k+1) + 1000k},$ với mọi số nguyên dương $k$. Khi $k$ tiến tới vô cùng, $\frac{9}{19(k+1) + 1000k}$ tiến tới 0, nên: $A = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{9}{19n + 1000(n-1)} = \frac{1}{19}.$ Vậy, $A = \frac{1}{19}$. Đáp án: $A = \frac{1}{19}$.