tìm giá trị nhỏ nhất của M biết: M = ( x - 1 )( x - 3 ) + 11

Đầu tiên, ta có thể khai triển biểu thức M: M = (x - 1)(x - 3) + 11 = x^2 - 4x + 3 + 11 = x^2 - 4x + 14. Bây giờ, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của M. Để làm điều này, ta có thể sử dụng bất đẳng thức về giá trị trung bình cộng và giá trị trung bình nhân (AM-GM): AM-GM cho hai số không âm a và b nói rằng: a + b ≥ 2√(ab). Áp dụng AM-GM cho x^2 và 4, ta có: x^2 + 4 ≥ 2√(x^2 * 4) = 4x. Do đó, x^2 - 4x ≥ -4. Thêm 14 vào cả hai vế, ta có: x^2 - 4x + 14 ≥ 10. Vậy, M = x^2 - 4x + 14 ≥ 10. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x^2 = 4, hay x = ±2. Vậy, giá trị nhỏ nhất của M là 10, đạt được khi x = ±2.