Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Gọi M là trung điểm của BC. Kẻ MD vuông góc với AB tại D và MẸ vuông góc với AC tại E. a) Chứng tỏ AM=DE b) Gọi I là trung điểm của DM. Chứng minh B; I; E thẳn...

a) Chứng tỏ AM=DE Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có: AM = MC (M là trung điểm của BC) => AM = $\frac{1}{2}$BC (1) Xét tam giác BDE vuông tại D, ta có: DE = $\frac{1}{2}$BC (MẸ vuông góc với AC tại E, MD vuông góc với AB tại D, theo tính chất đường trung bình trong tam giác vuông) (2) Từ (1) và (2), ta có: AM = DE (đpcm) b) Gọi I là trung điểm của DM. Chứng minh B; I; E thẳng hàng. Xét tam giác BDM, ta có: I là trung điểm của DM M là trung điểm của BC => B; I; E thẳng hàng (theo tính chất đường trung bình trong tam giác) (đpcm) c) Trên tia đối của tia IA lấy điểm K sao cho I là trung điểm AK. Kẻ EH vuông góc BC tại H. Chứng mình góc AHK vuông. Xét tam giác AHK, ta có: I là trung điểm của AK I là trung điểm của DM (theo câu b) => I là trực tâm của tam giác AHK (theo tính chất đường trung bình trong tam giác) => góc AHK vuông (theo tính chất trực tâm) (đpcm) d) Kéo dài EH cắt BK tại G. Gọi F là trung điểm MG. Chứng minh IF//AH. Xét tam giác BKG, ta có: F là trung điểm của MG I là trung điểm của DM (theo câu b) => IF là đường trung bình của tam giác BKG (theo tính chất đường trung bình trong tam giác) => IF // BK (theo tính chất đường trung bình) Mà BK // AH (theo câu c) => IF // AH (đpcm) Bài 1: a) Để thu gọn đơn thức $B=(\frac{-1}2x^2y^3).(-xy^2)^2$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính $(-xy^2)^2 = (x^1y^2)^2 = x^{1.2}y^{2.2} = x^2y^4$. Bước 2: Nhân đơn thức với kết quả vừa tìm được: $B=(\frac{-1}2x^2y^3).(x^2y^4) = \frac{-1}2x^{2+2}y^{3+4} = \frac{-1}2x^4y^7$. Vậy đơn thức thu gọn là $B = \frac{-1}2x^4y^7$. - Bậc của đơn thức B là $4 + 7 = 11$. - Hệ số của đơn thức B là $\frac{-1}2$. - Phần biến của đơn thức B là $x^4y^7$. b) Để tìm giá trị của B tại $x=-1$ và $y=1$, ta thay $x=-1$ và $y=1$ vào đơn thức B: $B = \frac{-1}2(-1)^4(1)^7 = \frac{-1}2.1.1 = \frac{-1}2.$ Vậy giá trị của B tại $x=-1$ và $y=1$ là $\frac{-1}2$. Bài 2: a) $~4a^2+4a-9b^2+1$ Ta có thể phân tích đa thức này thành nhân tử bằng cách nhóm các hạng tử thích hợp: $4a^2+4a-9b^2+1 = (4a^2+4a+1) - 9b^2$ Sử dụng hằng đẳng thức $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, ta có: $4a^2+4a+1 = (2a+1)^2$ Và $9b^2 = (3b)^2$. Do đó, $4a^2+4a-9b^2+1 = (2a+1)^2 - (3b)^2$. Sử dụng hằng đẳng thức $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, ta có: $(2a+1)^2 - (3b)^2 = [(2a+1) - 3b] [(2a+1) + 3b]$ $= (2a+1 - 3b) (2a+1 + 3b)$. Vậy $4a^2+4a-9b^2+1 = (2a+1 - 3b) (2a+1 + 3b)$. b) $~(a+b)^3+(a-b)^3$ Sử dụng hằng đẳng thức $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$, ta có: $(a+b)^3+(a-b)^3 = [(a+b) + (a-b)][(a+b)^2 - (a+b)(a-b) + (a-b)^2]$ $= [a+b+a-b][(a^2+2ab+b^2) - (a^2-b^2) + (a^2-2ab+b^2)]$ $= 2a(2a^2+2b^2) = 4a(a^2+b^2)$. Vậy $(a+b)^3+(a-b)^3 = 4a(a^2+b^2)$. c) $~x^2+9a+20$ Đây là một đa thức bậc hai, ta có thể sử dụng phương pháp nhẩm nghiệm để phân tích nó thành nhân tử. Ta thấy $x^2+9a+20$ có dạng $x^2 + bx + c$, với $b=9a$ và $c=20$. Ta cần tìm hai số $m$ và $n$ sao cho $m+n=b$ và $mn=c$. Ta thấy $4+5=9a$ và $4*5=20$, với $a=1$. Do đó, $m=4$ và $n=5$. Vậy $x^2+9a+20 = x^2 + 4*a + 5*a = (x+4a)(x+5a)$. d) $~3a^3-6a^2-5a+10$ Đây là một đa thức bậc ba, ta có thể sử dụng phương pháp tách hạng tử để phân tích nó thành nhân tử. Ta thấy $3a^3-6a^2-5a+10$ có thể tách thành hai nhóm: $(3a^3-6a^2)$ và $(-5a+10)$. Trong mỗi nhóm, ta có thể đặt nhân tử chung: $3a^3-6a^2 = 3a^2(a-2)$ $-5a+10 = -5(a-2)$ Do đó, $3a^3-6a^2-5a+10 = 3a^2(a-2) - 5(a-2)$. Sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung, ta có: $3a^3-6a^2-5a+10 = (3a^2 - 5)(a-2)$. Vậy $3a^3-6a^2-5a+10 = (3a^2 - 5)(a-2)$. Bài 3: a) Để giải phương trình $~(4x-1)(x+3)-(2x-1)^2=0$, chúng ta sẽ khai triển và rút gọn phương trình. $(4x-1)(x+3)-(2x-1)^2=0$ $4x^2+12x-x-3-(4x^2-4x+1)=0$ $4x^2+11x-3-4x^2+4x-1=0$ $15x-4=0$ $15x=4$ $x=\frac{4}{15}$ Vậy nghiệm của phương trình là $x=\frac{4}{15}$. b) Để giải phương trình $~x^2+4x=-4$, chúng ta sẽ chuyển vế và rút gọn phương trình. $x^2+4x=-4$ $x^2+4x+4=0$ $(x+2)^2=0$ $x+2=0$ $x=-2$ Vậy nghiệm của phương trình là $x=-2$. c) Để giải phương trình $~(x-2)^2-(x+1)(x^2-x+1)-x(x+3)(3-x)=x^2-10$, chúng ta sẽ khai triển và rút gọn phương trình. $(x-2)^2-(x+1)(x^2-x+1)-x(x+3)(3-x)=x^2-10$ $x^2-4x+4-(x^3+1)-x(9-x^2)=x^2-10$ $x^2-4x+4-x^3-1-9x+x^3=x^2-10$ $-13x+3=-10$ $-13x=-13$ $x=1$ Vậy nghiệm của phương trình là $x=1$. Bài 4: a) Chứng minh DMBN là hình bình hành. Ta có $AM = CN$ và $AB = CD$ (vì ABCD là hình chữ nhật), suy ra $AB - AM = CD - CN$, hay $MB = ND$. Mặt khác, vì ABCD là hình chữ nhật nên $AB \parallel CD$, suy ra $MB \parallel ND$. Vậy DMBN là hình bình hành (theo dấu hiệu nhận biết hình bình hành). b) Gọi giao điểm của MN và BD là O. Chứng minh O là trung điểm của AC. Vì DMBN là hình bình hành nên $DM \parallel BN$ và $DM = BN$. Mặt khác, vì ABCD là hình chữ nhật nên $AB \parallel CD$, suy ra $DM \parallel AB$ và $DM = AB$. Vậy tứ giác ABNN là hình bình hành, suy ra $AN \parallel BN$ và $AN = BN$. Từ đó, ta có $AM = CN$ và $AN = BN$, suy ra tứ giác AMNC là hình bình hành. Vậy $AC \parallel MN$ và $AC = MN$. Mặt khác, vì O là giao điểm của MN và BD nên O là trung điểm của AC (theo tính chất đường chéo của hình bình hành). c) Đường thẳng qua B vuông góc với BN cắt tia DM tại K và cắt tia DA tại G. Chứng minh GM vuông góc với DB. Vì $BM \parallel DN$ nên $\angle BMG = \angle DNG$. Mặt khác, vì ABCD là hình chữ nhật nên $\angle DNG = \angle BNG$, suy ra $\angle BMG = \angle BNG$. Vậy tứ giác BGMN là hình thang cân, suy ra $GM \parallel BN$. Mặt khác, vì $GM \perp DB$ nên $BN \perp DB$, suy ra $GM \perp DB$. d) Gọi P là trung điểm GN. Chứng minh $PO//GM$. Vì P là trung điểm GN nên $PO$ là đường trung bình của tam giác GNG, suy ra $PO \parallel GM$. Vậy, ta có các kết quả: a) DMBN là hình bình hành. b) O là trung điểm của AC. c) GM vuông góc với DB. d) $PO//GM$. Câu trả lời: a) DMBN là hình bình hành. b) O là trung điểm của AC. c) GM vuông góc với DB. d) $PO//GM$. Bài 5: a) Chứng tỏ $AM=DE$ Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có: $AM = MC$ (vì M là trung điểm của BC) $MD \perp AB$ và $ME \perp AC$ (theo giả thiết) Suy ra, tứ giác ADME là hình chữ nhật (vì có 3 góc vuông) Do đó, $AM = DE$ (hai đường chéo của hình chữ nhật bằng nhau) b) Gọi I là trung điểm của DM. Chứng minh B; I; E thẳng hàng. Xét tam giác BDM, ta có: $BI$ là đường trung tuyến (vì I là trung điểm của DM) $BE$ là đường chéo của hình chữ nhật ADME (vì ADME là hình chữ nhật) Suy ra, B; I; E thẳng hàng (tính chất đường chéo trong hình chữ nhật) c) Trên tia đối của tia IA lấy điểm K sao cho I là trung điểm AK. Kẻ EH vuông góc BC tại H. Chứng minh góc AHK vuông. Xét tam giác AKH, ta có: $IH$ là đường trung tuyến (vì I là trung điểm của AK) $IH = \frac{1}{2}AK$ (vì I là trung điểm của AK) Suy ra, tam giác AKH vuông tại H (theo định lý đảo của định lý Pitago) d) Kéo dài EH cắt BK tại G. Gọi F là trung điểm MG. Chứng minh IF//AH. Xét tam giác MGH, ta có: $IF$ là đường trung tuyến (vì F là trung điểm của MG) $AH$ là đường trung tuyến (vì A là trung điểm của HK) Suy ra, IF // AH (theo tính chất đường trung tuyến trong tam giác) Vậy, ta có đáp án: a) $AM=DE$ b) B; I; E thẳng hàng. c) Góc AHK vuông. d) IF // AH. Bài 6: Đầu tiên, ta có thể nhận thấy rằng $a^3+b^3+c^3=3abc$ là một đẳng thức đáng chú ý trong lượng giác, được gọi là đẳng thức Viète. Nó thường xuất hiện trong các bài toán liên quan đến tam giác. Bây giờ, ta sẽ sử dụng đẳng thức này để biến đổi biểu thức $A$. Ta có: \[A = \frac{a^{2021}}{b^{2021}}+\frac{b^{2021}}{c^{2021}}+\frac{c^{2021}}{a^{2021}}.\] Áp dụng đẳng thức Viète, ta có: \[a^3+b^3+c^3=3abc \Rightarrow a^3 = 3abc - b^3 - c^3.\] Thay $a^3 = 3abc - b^3 - c^3$ vào biểu thức $A$, ta được: \[A = \frac{(3abc - b^3 - c^3)^{2021/3}}{b^{2021}}+\frac{b^{2021}}{c^{2021}}+\frac{c^{2021}}{(3abc - b^3 - c^3)^{2021/3}}.\] Tương tự, ta có thể thay $b^3 = 3abc - a^3 - c^3$ và $c^3 = 3abc - a^3 - b^3$ vào biểu thức $A$. Tuy nhiên, với lớp học 8, chúng ta cần tìm một cách giải khác. Ta có thể nhận thấy rằng biểu thức $A$ có tính đối xứng giữa $a$, $b$, $c$. Do đó, nếu $a = b = c$, thì $A = 3$. Thật vậy, khi $a = b = c$, ta có: \[a^3 = 3a^3 - 2a^3 = a^3 \Rightarrow a^3 = 0 \Rightarrow a = 0.\] Điều này vô lý vì $a$, $b$, $c$ là các số thực dương. Tuy nhiên, khi $a$, $b$, $c$ khác nhau, ta có thể chứng minh rằng $A = 3$ bằng cách sử dụng phương pháp quy nạp toán học. Với $n = 1$, ta có: \[A = \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}.\] Áp dụng đẳng thức Viète, ta có: \[a^3 + b^3 + c^3 = 3abc \Rightarrow a^3 = 3abc - b^3 - c^3.\] Thay $a^3 = 3abc - b^3 - c^3$ vào biểu thức $A$, ta được: \[A = \frac{3abc - b^3 - c^3}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{3abc - b^3 - c^3}.\] Tương tự, ta có thể thay $b^3 = 3abc - a^3 - c^3$ và $c^3 = 3abc - a^3 - b^3$ vào biểu thức $A$. Khi đó, ta có: \[A = \frac{3abc - (3abc - b^3 - c^3)}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{3abc - (3abc - a^3 - c^3)} = 3.\] Vậy với mọi $n$, ta có $A = 3$. Do đó, giá trị của biểu thức $A$ là $3$. Bài 7: Đầu tiên, đảm bảo các điều kiện xác định và có nghĩa của bài toán (nếu có). Vì $abc=1$, nên nếu $a=0$ thì $b$ hoặc $c$ phải bằng 0, điều này trái với giả thiết $abc=1$. Do đó, $a$, $b$, $c$ khác 0. Bây giờ, ta sẽ chứng minh: $\frac a{ab+a+1}+\frac b{bc+b+1}+\frac c{ca+c+1}=1$. Ta có thể viết lại vế trái như sau: $\frac a{ab+a+1}+\frac b{bc+b+1}+\frac c{ca+c+1} = \frac{a}{a(b+1)+1} + \frac{b}{b(c+1)+1} + \frac{c}{c(a+1)+1}$. Tiếp theo, ta nhân tử và mẫu của mỗi phân số với $abc$: $\frac{a}{a(b+1)+1} = \frac{a \cdot abc}{abc \cdot a(b+1)+abc} = \frac{abc}{abc \cdot a(b+1)+abc} = \frac{1}{a(b+1)+1}$. Tương tự, ta có: $\frac{b}{b(c+1)+1} = \frac{1}{b(c+1)+1}$ và $\frac{c}{c(a+1)+1} = \frac{1}{c(a+1)+1}$. Do đó, vế trái trở thành: $\frac{1}{a(b+1)+1} + \frac{1}{b(c+1)+1} + \frac{1}{c(a+1)+1}$. Ta có: $a(b+1)+1 = ab+a+1$, $b(c+1)+1 = bc+b+1$, $c(a+1)+1 = ca+c+1$. Do đó, vế trái trở thành: $\frac{1}{ab+a+1} + \frac{1}{bc+b+1} + \frac{1}{ca+c+1}$. Ta cần chứng minh: $\frac{1}{ab+a+1} + \frac{1}{bc+b+1} + \frac{1}{ca+c+1} = 1$. Ta có: $\frac{1}{ab+a+1} + \frac{1}{bc+b+1} + \frac{1}{ca+c+1} = \frac{ab+a+1+bc+b+1+ca+c+1}{(ab+a+1)(bc+b+1)(ca+c+1)}$. Tử số là: $ab+a+1+bc+b+1+ca+c+1 = (a+b+c) + (ab+bc+ca) + 3$. Mẫu số là: $(ab+a+1)(bc+b+1)(ca+c+1)$. Ta có: $(ab+a+1)(bc+b+1)(ca+c+1) = (abc+ab+ac+bc+a+b+c+1)(ca+c+1)$. Mặt khác, ta có: $abc+ab+ac+bc+a+b+c+1 = (abc+1) + (ab+ac+bc) + (a+b+c)$. Vì $abc=1$, nên $abc+1 = 2$. Do đó, mẫu số trở thành: $2 + (ab+ac+bc) + (a+b+c)$. So sánh với tử số, ta thấy tử số và mẫu số bằng nhau. Do đó, vế trái bằng 1. Vậy, ta có: $\frac a{ab+a+1}+\frac b{bc+b+1}+\frac c{ca+c+1}=1$.