Cho hình chữ nhật ABCD có góc BAC bằng 30 độ, AB bằng a căn 3 (a là số thực dương). Gọi E, F theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của B và D trên đường chéo AC. Tính độ dài EF theo a.

Vì ABCD là hình chữ nhật $\displaystyle \Rightarrow $AD = BC và AD // BC
$\displaystyle \Rightarrow \widehat{BCE} =\widehat{DAF}$
Xét $\displaystyle \vartriangle $BEC và △DFA có: 
$\displaystyle \widehat{BEC} =\widehat{DFA} =90^{o}$
BC = AD (cmt)
$\displaystyle \widehat{BCE} =\widehat{FAD}$ (cmt)
$\displaystyle \Rightarrow \vartriangle BEC=\vartriangle DFA$ (cạnh huyền - góc nhọn)
$\displaystyle \Rightarrow $EC = FA 
Xét $\displaystyle \vartriangle $ABC vuông tại B có: 
$\displaystyle  \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\cos\widehat{BAC} =\frac{AB}{AC} \Rightarrow AC=AB.\cos\widehat{BAC}\\
\Rightarrow AC=a\sqrt{3} .\cos 30^{o} =a\sqrt{3} .\frac{\sqrt{3}}{2} =\frac{3a}{2}\\
\tan\widehat{BAC} =\frac{BC}{AB} \Rightarrow BC=a\sqrt{3} .\tan 30^{o} =a
\end{array}$
Xét $\displaystyle \vartriangle $BEC vuông tại E có: $\displaystyle \widehat{BCE} +\widehat{CBE} =90^{o}$
Xét $\displaystyle \vartriangle $ABC vuông tại B có: $\displaystyle \widehat{BAC} +\widehat{BCE} =90^{o}$
$\displaystyle \Rightarrow \widehat{EBC} =\widehat{BAC} =30^{o}$
Xét $\displaystyle \vartriangle $BEC vuông tại E có: 
$\displaystyle \sin\widehat{EBC} =\frac{CE}{BC} \Rightarrow CE=a.\sin 30^{o} =\frac{a}{2}$
Ta có: 
$\displaystyle FE=AC-AF-CE=AC-2CE=\frac{3a}{2} -2.\frac{a}{2} =\frac{a}{2}$