Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 2√7 và BC = 4. a) Tính góc B và diện tích tam giác ABC. b) Tính độ dài đường phân giác trong của góc B của tam giác ABC

a) Để tính góc B và diện tích tam giác ABC, ta có thể sử dụng định lý cosin và công thức diện tích tam giác. Theo định lý cosin, ta có: $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AB.AC.\cos B$ $4^2 = 2^2 + (2\sqrt{7})^2 - 2.2.2\sqrt{7}.\cos B$ $16 = 4 + 28 - 8\sqrt{7}\cos B$ $8\sqrt{7}\cos B = 20$ $\cos B = \frac{5}{\sqrt{7}}$ $\sin B = \sqrt{1 - \cos^2 B} = \sqrt{1 - \left(\frac{5}{\sqrt{7}}\right)^2} = \frac{2}{\sqrt{7}}$ Diện tích tam giác ABC là: $S = \frac{1}{2}AB.AC.\sin B = \frac{1}{2}.2.2\sqrt{7}.\frac{2}{\sqrt{7}} = 4$ Vậy góc B là $\arccos \frac{5}{\sqrt{7}}$ và diện tích tam giác ABC là 4. b) Để tính độ dài đường phân giác trong của góc B, ta có thể sử dụng công thức tính độ dài đường phân giác trong: $l_B = \frac{2.AB.AC.\sin \frac{B}{2}}{AB + AC}$ Trước hết, ta cần tính $\sin \frac{B}{2}$. Theo công thức nhân đôi, ta có: $\sin \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos B}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{5}{\sqrt{7}}}{2}} = \sqrt{\frac{2}{\sqrt{7}}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{7}} = \frac{2}{\sqrt{7}}$ Thay vào công thức tính độ dài đường phân giác trong, ta được: $l_B = \frac{2.2.2\sqrt{7}.\frac{2}{\sqrt{7}}}{2 + 2\sqrt{7}} = \frac{8}{2 + 2\sqrt{7}} = \frac{8(2 - 2\sqrt{7})}{(2 + 2\sqrt{7})(2 - 2\sqrt{7})} = 4 - 2\sqrt{7}$ Vậy độ dài đường phân giác trong của góc B là $4 - 2\sqrt{7}$.