Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Trong một tam giác vuông, các tỉ số lượng giác của một góc nhọn (được ký hiệu là α) được định nghĩa như sau: - Sin α (ký hiệu là sin α) bằng tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền. - Cosin α (ký hiệu là cos α) bằng tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền. - Tang α (ký hiệu là tan α) bằng tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề. - Côtang α (ký hiệu là cot α) bằng tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối. Các hệ thức lượng trong tam giác vuông bao gồm: 1. sin²α + cos²α = 1 2. tan α = sin α / cos α 3. cot α = cos α / sin α 4. tan α * cot α = 1 Các hệ thức này được suy ra từ định nghĩa các tỉ số lượng giác và có thể được chứng minh bằng cách sử dụng định lý Pytago. Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông tại A, với AB = 3, AC = 4. Tính sin B, cos B, tan B, cot B. Trước hết, ta tính BC bằng định lý Pytago: BC² = AB² + AC² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25, suy ra BC = √25 = 5. - sin B = AC / BC = 4 / 5 - cos B = AB / BC = 3 / 5 - tan B = AC / AB = 4 / 3 - cot B = AB / AC = 3 / 4 Vậy sin B = 4/5, cos B = 3/5, tan B = 4/3, cot B = 3/4. bài 2: Giải hệ phương trình: $\begin{cases} x + y = 10 \\ x^2 + y^2 = 52 \end{cases}$ Từ phương trình thứ nhất, ta có thể biểu diễn $y$ theo $x$ như sau: $y = 10 - x$. Thay biểu thức này vào phương trình thứ hai, ta được: $x^2 + (10 - x)^2 = 52$. Bình phương và rút gọn biểu thức, ta được: $x^2 + 100 - 20x + x^2 = 52$, $2x^2 - 20x + 100 - 52 = 0$, $2x^2 - 20x + 48 = 0$. Chia cả hai vế của phương trình cho 2, ta được: $x^2 - 10x + 24 = 0$. Phương trình này có thể phân tích thành: $(x - 4)(x - 6) = 0$. Từ đây, ta tìm được hai nghiệm: $x = 4$ và $x = 6$. Thay $x = 4$ vào phương trình $y = 10 - x$, ta được $y = 6$. Thay $x = 6$ vào phương trình $y = 10 - x$, ta được $y = 4$. Vậy, hai nghiệm của hệ phương trình là $(x, y) = (4, 6)$ và $(x, y) = (6, 4)$.