Cho ∆ABC có AD,BE,CF là 3 đường cao. Chứng minh rằng : AE.BF.CD=AB.BC.CA ( cosA, cosB, cosC )

Đầu tiên, ta cần nhắc lại một số kiến thức cơ bản về tam giác và hàm lượng giác. 1. Trong tam giác ABC, nếu AD là đường cao, thì ta có: $AD = AB \cdot \sin B = AC \cdot \sin C$. 2. Hàm lượng giác của góc A trong tam giác ABC là: $\cos A = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2AB \cdot AC}$. Bây giờ, ta sẽ chứng minh rằng $AE \cdot BF \cdot CD = AB \cdot BC \cdot CA \cdot \cos A \cdot \cos B \cdot \cos C$. Ta có: $AE = AB \cdot \cos B$, $BF = BC \cdot \cos C$, $CD = AC \cdot \cos A$. Thay vào biểu thức cần chứng minh, ta được: $AE \cdot BF \cdot CD = (AB \cdot \cos B) \cdot (BC \cdot \cos C) \cdot (AC \cdot \cos A) = AB \cdot BC \cdot CA \cdot \cos A \cdot \cos B \cdot \cos C$. Vậy, ta đã chứng minh được $AE \cdot BF \cdot CD = AB \cdot BC \cdot CA \cdot \cos A \cdot \cos B \cdot \cos C$.