Tìm a,b nguyên dương để a^2b^2 - 4a -4b là số chính phương

Đầu tiên, đảm bảo các điều kiện xác định và có nghĩa của bài toán (nếu có). Bài toán yêu cầu tìm a, b nguyên dương để biểu thức $a^2b^2 - 4a - 4b$ là số chính phương. Giả sử $a^2b^2 - 4a - 4b = k^2$ với k là số nguyên dương. Ta có thể viết lại biểu thức như sau: $a^2b^2 - 4a - 4b + 4 = k^2 + 4$. Hay $(ab)^2 - 4(a+b) + 4 = k^2 + 4$. Đặt $ab = x$, $a+b = y$, ta có $x^2 - 4y + 4 = k^2 + 4$. Hay $x^2 - 4y = k^2$. Đây là phương trình Pell, một dạng phương trình đại số được nghiên cứu bởi nhà toán học John Pell. Nghiệm của phương trình Pell thường khá phức tạp và không có công thức tổng quát. Tuy nhiên, với bài toán này, ta có thể tìm nghiệm bằng cách thử và sai. Thử với $a = 1$, $b = 1$, ta có $1^2.1^2 - 4.1 - 4.1 = -8$, không phải là số chính phương. Thử với $a = 2$, $b = 1$, ta có $2^2.1^2 - 4.2 - 4.1 = 0$, là số chính phương. Thử với $a = 1$, $b = 2$, ta cũng có $1^2.2^2 - 4.1 - 4.2 = 0$, là số chính phương. Vậy các cặp $(a, b)$ thỏa mãn là $(2, 1)$ và $(1, 2)$.