cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Chứng minh 1/AH^2 = 1/AB^2 + 1/AC^2

Đầu tiên, ta cần nhớ lại một số hệ thức lượng trong tam giác vuông: 1. $AB^2 = BC.BH$ 2. $AC^2 = BC.CH$ 3. $AH^2 = BH.CH$ Từ các hệ thức này, ta có thể suy ra: $\frac{1}{AB^2} = \frac{BH}{BC.AB^2}$ $\frac{1}{AC^2} = \frac{CH}{BC.AC^2}$ $\frac{1}{AH^2} = \frac{BH.CH}{BC.AH^2}$ Cộng hai vế của hai đẳng thức trên, ta được: $\frac{1}{AB^2} + \frac{1}{AC^2} = \frac{BH}{BC.AB^2} + \frac{CH}{BC.AC^2}$ $ = \frac{BH.CH + CH.BH}{BC.AH^2}$ $ = \frac{AH^2}{BC.AH^2}$ $ = \frac{1}{BC}$ Mặt khác, từ hệ thức $BC = \frac{AB^2 + AC^2}{AH}$, ta có thể suy ra: $\frac{1}{BC} = \frac{AH^2}{AB^2 + AC^2}$ So sánh hai kết quả trên, ta thấy: $\frac{1}{AB^2} + \frac{1}{AC^2} = \frac{AH^2}{AB^2 + AC^2}$ Hay $\frac{1}{AH^2} = \frac{1}{AB^2} + \frac{1}{AC^2}$