Bài 1. Hãy chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của các tập hợp sau đây: a) A = {0; 5; 10; 15;....; 100} b) B = {111; 222; 333;...; 999} c) C = {1; 4; 7; 10;13;...; 49} Bài 2. Viết tập hợp A...

Bài 1. a) A = {0; 5; 10; 15;; 100} Tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp A là: Các phần tử là các số tự nhiên chia hết cho 5, bắt đầu từ 0 và kết thúc ở 100. b) B = {111; 222; 333;...; 999} Tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp B là: Các phần tử là các số có ba chữ số, trong đó các chữ số đều giống nhau. c) C = {1; 4; 7; 10;13;...; 49} Tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp C là: Các phần tử là các số tự nhiên chia cho 3 dư 1, bắt đầu từ 1 và kết thúc ở 49. Bài 2. Đầu tiên, chúng ta cần tìm tất cả các số tự nhiên có hai chữ số mà tổng các chữ số bằng 5. Điều kiện xác định và có nghĩa của bài toán là các chữ số của số tự nhiên đó phải là các số tự nhiên từ 0 đến 9. Bây giờ, chúng ta sẽ tìm tất cả các số tự nhiên có hai chữ số mà tổng các chữ số bằng 5. Các cặp số (a, b) thỏa mãn a + b = 5 là: (0, 5), (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1), (5, 0). Tuy nhiên, chữ số đầu tiên (a) không thể là 0 vì không có số tự nhiên nào bắt đầu bằng 0. Do đó, chúng ta loại bỏ cặp (0, 5). Vậy, các số tự nhiên có hai chữ số mà tổng các chữ số bằng 5 là: 14, 23, 32, 41. Do đó, tập hợp A các số tự nhiên có hai chữ số mà tổng các chữ số bằng 5 là: A = {14, 23, 32, 41}. Đáp án: A = {14, 23, 32, 41}. Bài 3. Viết tập hợp A các số tự nhiên có một chữ số bằng hai cách. Cách 1: Liệt kê các phần tử Các số tự nhiên có một chữ số là: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Vậy tập hợp A có thể được viết là: A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Cách 2: Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử Tập hợp A các số tự nhiên có một chữ số có thể được viết là: A = {x | x là số tự nhiên và 0 ≤ x ≤ 9}. Đáp án: A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} hoặc A = {x | x là số tự nhiên và 0 ≤ x ≤ 9}. Bài 4. a. Để viết các tập hợp A; B và cho biết mỗi tập hợp có bao nhiêu phần tử, ta thực hiện như sau: - Tập hợp A gồm các số tự nhiên chẵn không nhỏ hơn 20 và không lớn hơn 30. Các số tự nhiên chẵn nằm trong khoảng này là: 20, 22, 24, 26, 28, 30. Vậy A = {20, 22, 24, 26, 28, 30}. Tập hợp A có 6 phần tử. - Tập hợp B gồm các số tự nhiên lớn hơn 26 và nhỏ hơn 33. Các số tự nhiên nằm trong khoảng này là: 27, 28, 29, 30, 31, 32. Vậy B = {27, 28, 29, 30, 31, 32}. Tập hợp B có 6 phần tử. b. Tập hợp C gồm các phần tử thuộc A mà không thuộc B. Để tìm tập hợp C, ta so sánh các phần tử của tập hợp A và B. Các phần tử thuộc A mà không thuộc B là: 20, 22, 24, 26, 30. Vậy C = {20, 22, 24, 26, 30}. c. Tập hợp D gồm các phần tử thuộc B mà không thuộc A. Để tìm tập hợp D, ta so sánh các phần tử của tập hợp B và A. Các phần tử thuộc B mà không thuộc A là: 27, 29, 31, 32. Vậy D = {27, 29, 31, 32}. Bài 5. Đầu tiên, ta gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là $$. Tích của 4 số này là $$. Ta thấy rằng $$ là 4 số tự nhiên liên tiếp, nên trong 4 số này, ít nhất có một số là bội của 2 và ít nhất có một số là bội của 3. Ngoài ra, ta cũng thấy rằng $$ có chữ số tận cùng là 4, nên nó phải là tích của một số có chữ số tận cùng là 2 (tức là chia hết cho 2) và một số có chữ số tận cùng là 3 (tức là chia hết cho 3). Từ đó, ta có thể dự đoán rằng trong 4 số $$, có một số là $$ chia hết cho $$. Thử với $$, ta có $$. Vậy, 4 số tự nhiên liên tiếp cần tìm là $$. Bài 6. Để đánh số trang của quyển sách Toán 6 tập I dày 130 trang, ta cần xét ba trường hợp: 1. Từ trang 1 đến trang 9: Có 9 trang, mỗi trang cần 1 chữ số. 2. Từ trang 10 đến trang 99: Có 90 trang, mỗi trang cần 2 chữ số. 3. Từ trang 100 đến trang 130: Có 31 trang, mỗi trang cần 3 chữ số. Tổng số chữ số cần dùng là: - 9 trang đầu tiên, mỗi trang cần 1 chữ số: $$ chữ số. - 90 trang tiếp theo, mỗi trang cần 2 chữ số: $$ chữ số. - 31 trang cuối cùng, mỗi trang cần 3 chữ số: $$ chữ số. Cộng tất cả lại, ta được tổng số chữ số cần dùng là: $$ chữ số. Vậy cần dùng 282 chữ số để đánh số trang của quyển sách Toán 6 tập I dày 130 trang. Bài 7. Dãy số đã cho là một cấp số cộng với số hạng đầu $$ và công sai $$. Ta cần tìm số số hạng của cấp số cộng này. Ta có công thức tổng quát của cấp số cộng là $$. Áp dụng vào bài toán, ta có $$. Giải phương trình này, ta được $$, hay $$, suy ra $$, do đó $$. Số số hạng của cấp số cộng là 334. Tổng của cấp số cộng này được tính bởi công thức $$. Áp dụng vào bài toán, ta có $$. Vậy tổng của dãy số đã cho là 167167. Bài 8. a) 2.125.2002.8.5 = (2.8).(125.5).2002 = 16.625.2002 = 16.125.2002 = 2002.16.125 = 2002.2000 = 4004000 b) 36.42 + 2.17.18 + 9.41.6 = 36.(42 + 2.17) + 9.41.6 = 36.(42 + 34) + 9.41.6 = 36.76 + 9.41.6 = 36.76 + 9.(41.6) = 36.76 + 9.246 = 36.76 + 2214 = 2736 + 2214 = 4950 c) 28.47 + 28.43 + 72.29 + 72.61 = 28.(47 + 43) + 72.(29 + 61) = 28.90 + 72.90 = 2520 + 6480 = 9000 d) 26.54 + 52.73 = 26.(54 + 52) = 26.106 = 2756 Bài 9. Với các số tự nhiên liên tiếp như 2001, 2002, 2003, 2004, chữ số tận cùng của mỗi số là 1, 2, 3, 4. Với các số tự nhiên liên tiếp như 2005, 2006, 2007, 2008, 2009, chữ số tận cùng của mỗi số là 5, 6, 7, 8, 9. Khi nhân các số tận cùng là 1, 2, 3, 4, chữ số tận cùng của tích luôn là 0 (vì 1*2*3*4 = 24, chữ số tận cùng là 4). Khi nhân các số tận cùng là 5, 6, 7, 8, 9, chữ số tận cùng của tích có thể là 0, 2, 4, 6, 8. Khi cộng hai tích trên, chữ số tận cùng của tổng có thể là 0, 2, 4, 6, 8. Vậy kết quả dãy tính tận cùng bằng chữ số 0. Bài 10. a) 720 : (x - 17) = 12 Điều kiện: x - 17 ≠ 0 hay x ≠ 17 Ta có: 720 = 12(x - 17) => 720 = 12x - 204 => 12x = 720 + 204 = 924 => x = 924 : 12 = 77 (thỏa mãn điều kiện) Vậy x = 77. b) (x - 28) : 12 = 8 Điều kiện: x - 28 ≠ 0 hay x ≠ 28 Ta có: x - 28 = 8 * 12 => x - 28 = 96 => x = 96 + 28 = 124 (thỏa mãn điều kiện) Vậy x = 124. c) 26 + 8x = 6x + 46 => 8x - 6x = 46 - 26 => 2x = 20 => x = 20 : 2 = 10 Vậy x = 10. d) 3600 : [(5x + 335) : x] = 50 Điều kiện: (5x + 335) : x ≠ 0 hay 5x + 335 ≠ 0 Ta có: 3600 = 50 * [(5x + 335) : x] => 3600 = 50(5x + 335) : x => 3600x = 50(5x + 335) => 3600x = 250x + 16750 => 3600x - 250x = 16750 => 3350x = 16750 => x = 16750 : 3350 = 5 (thỏa mãn điều kiện) Vậy x = 5. Bài 11. Đầu tiên, ta tính giá trị của biểu thức (139139 . 133 - 133133 . 139). Ta thấy rằng 139139 = 139 . 1000 + 139 và 133133 = 133 . 1000 + 133. Do đó, 139139 . 133 - 133133 . 139 = (139 . 1000 + 139) . 133 - (133 . 1000 + 133) . 139 = 139 . 133 . 1000 + 139 . 133 - 133 . 139 . 1000 - 133 . 139 = 0. Tiếp theo, ta tính giá trị của biểu thức (2 + 4 + 6 + ... + 2002). Đây là tổng của cấp số cộng có số hạng đầu là 2, số hạng cuối là 2002 và công sai là 2. Số số hạng của cấp số cộng này là (2002 - 2) : 2 + 1 = 1001. Tổng của cấp số cộng này là (2 + 2002) . 1001 : 2 = 1002002. Cuối cùng, ta tính giá trị của biểu thức (0 : 1002002) = 0. Vậy giá trị của biểu thức (139139 . 133 - 133133 . 139) : (2 + 4 + 6 + ... + 2002) là 0. Bài 12. Đầu tiên, chúng ta cần tìm hiểu khoảng thời gian giữa hai ngày 22-12-2002 và 22-12-2012. Khoảng thời gian này là 10 năm. Một năm thường có 365 ngày, nhưng một năm nhuận (năm chia hết cho 4) có 366 ngày. Từ năm 2002 đến năm 2012 có 3 năm nhuận (2004, 2008, 2012) và 7 năm thường. Số ngày trong 10 năm này là: 7 * 365 + 3 * 366 = 2555 ngày. Ngày 22-12-2002 là chủ nhật. Để tìm ra ngày thứ mấy trong tuần của ngày 22-12-2012, chúng ta cần tìm số dư khi chia 2555 cho 7 (số ngày trong tuần). 2555 chia 7 bằng 365 và dư 0. Điều này có nghĩa là 2555 ngày tương đương với 0 tuần, và ngày 22-12-2012 cũng là chủ nhật. Vậy ngày 22-12-2012 rơi vào chủ nhật. Bài 13. a) Để tìm n ∈ N trong phương trình 3n = 243, ta có thể viết 243 dưới dạng lũy thừa cơ số 3. Ta có: 243 = 3^5. Nên phương trình 3n = 243 tương đương với 3n = 3^5. Từ đây, ta có thể kết luận n = 5 vì chỉ có số mũ bằng nhau thì hai lũy thừa cơ số bằng nhau mới bằng nhau. Vậy n = 5. b) Tương tự, để tìm n ∈ N trong phương trình 2n = 256, ta có thể viết 256 dưới dạng lũy thừa cơ số 2. Ta có: 256 = 2^8. Nên phương trình 2n = 256 tương đương với 2n = 2^8. Từ đây, ta có thể kết luận n = 8 vì chỉ có số mũ bằng nhau thì hai lũy thừa cơ số bằng nhau mới bằng nhau. Vậy n = 8. Bài 14. a) Để so sánh hai số 31234 và 21851, ta thấy số 31234 có năm chữ số, còn số 21851 chỉ có năm chữ số. Vì số 31234 có nhiều chữ số hơn số 21851 nên số 31234 lớn hơn số 21851. b) Để so sánh hai số 630 và 1215, ta thấy cả hai số đều có ba chữ số. Ta so sánh từng cặp chữ số từ hàng trăm đến hàng đơn vị. Ở hàng trăm, 6 > 1 nên 630 > 1215. Bài 15. Đầu tiên, chúng ta có thể thấy rằng biểu thức $$ chỉ sử dụng sáu chữ số 5. Tiếp theo, chúng ta cần tính giá trị của biểu thức này. Bước 1: Tính giá trị trong ngoặc đơn đầu tiên: $$. Bước 2: Tính giá trị trong ngoặc đơn thứ hai: $$. Bước 3: Tính tích của hai kết quả ở bước 1 và bước 2: $$. Bước 4: Tính giá trị của biểu thức ban đầu: $$. Vậy, biểu thức $$ có giá trị là 100. Như vậy, chúng ta đã tìm được cách sử dụng sáu chữ số 5 để biểu diễn số 100 bằng phép tính. Bài 16. a) Tổng của ba số tự nhiên liên tiếp Giả sử ba số tự nhiên liên tiếp là $$, $$, $$. Tổng của ba số này là $$. Rõ ràng, $$ chia hết cho 3 vì $$ chia hết cho 3 và $$ chia hết cho 3. Vậy tổng của ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3. b) Tổng của bốn số tự nhiên liên tiếp Giả sử bốn số tự nhiên liên tiếp là $$, $$, $$, $$. Tổng của bốn số này là $$. Nhưng $$ không chia hết cho 4 vì $$ chia hết cho 4 nhưng $$ không chia hết cho 4. Vậy tổng của bốn số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 4. Bài 17. a) Để (15 + 7n) chia hết cho n, thì 15 + 7n phải chia hết cho n. Điều này có nghĩa là tồn tại một số nguyên k sao cho: 15 + 7n = kn Từ đó, ta có: 7n - kn = -15 n(7 - k) = -15 Vì n là số tự nhiên, nên n(7 - k) cũng là số tự nhiên. Mặt khác, -15 không phải là số tự nhiên, nên điều này chỉ xảy ra khi 7 - k = 1. Từ đó, ta có: 7 - k = 1 k = 6 Thay k = 6 vào phương trình n(7 - k) = -15, ta được: n(7 - 6) = -15 n = -15 Điều này không thể xảy ra vì n là số tự nhiên. Vậy, chúng ta cần tìm n sao cho n(7 - k) = 15. Từ đó, ta có: n(7 - k) = 15 n(7 - 6) = 15 n = 15 Vậy, n = 15 là giá trị duy nhất thỏa mãn điều kiện đề bài. b) Để (n + 28) chia hết cho (n + 4), thì tồn tại một số nguyên k sao cho: n + 28 = k(n + 4) Từ đó, ta có: n + 28 = kn + 4k n - kn = 4k - 28 n(1 - k) = 4k - 28 Vì n là số tự nhiên, nên n(1 - k) cũng là số tự nhiên. Mặt khác, 4k - 28 không phải là số tự nhiên, nên điều này chỉ xảy ra khi 1 - k = 1. Từ đó, ta có: 1 - k = 1 k = 0 Thay k = 0 vào phương trình n(1 - k) = 4k - 28, ta được: n(1 - 0) = 4*0 - 28 n = -28 Điều này không thể xảy ra vì n là số tự nhiên. Vậy, chúng ta cần tìm n sao cho n(1 - k) = 28 - 4k. Từ đó, ta có: n(1 - k) = 28 - 4k n(1 - 0) = 28 - 4*0 n = 28 Vậy, n = 28 là giá trị duy nhất thỏa mãn điều kiện đề bài. Bài 18. Ta thấy rằng 66 và 55 đều chia hết cho 11, nên 66a + 55b cũng chia hết cho 11. Mặt khác, 111 011 cũng chia hết cho 11. Do đó, ta có thể đặt 66a + 55b = 11 * k (với k là một số tự nhiên). Ta có thể biến đổi phương trình như sau: 66a + 55b = 111 011 => 6a + 5b = 10 101. Ta thấy rằng 10 101 chia hết cho 11, nên ta có thể đặt 6a + 5b = 11 * m (với m là một số tự nhiên). Ta có thể thử với một số giá trị của m để tìm ra a và b. Với m = 918, ta có: 6a + 5b = 11 * 918 => 6a + 5b = 10 101. Ta thấy rằng nếu a = 855 và b = 917, thì: 6 * 855 + 5 * 917 = 5130 + 4585 = 9715. Nhưng 9715 không bằng 10 101. Với m = 919, ta có: 6a + 5b = 11 * 919 => 6a + 5b = 10 109. Ta thấy rằng không có giá trị nào của a và b để 6a + 5b = 10 109. Với m = 920, ta có: 6a + 5b = 11 * 920 => 6a + 5b = 10 120. Ta thấy rằng không có giá trị nào của a và b để 6a + 5b = 10 120. Với m = 921, ta có: 6a + 5b = 11 * 921 => 6a + 5b = 10 131. Ta thấy rằng không có giá trị nào của a và b để 6a + 5b = 10 131. Với m = 922, ta có: 6a + 5b = 11 * 922 => 6a + 5b = 10 142. Ta thấy rằng không có giá trị nào của a và b để 6a + 5b = 10 142. Với m = 923, ta có: 6a + 5b = 11 * 923 => 6a + 5b = 10 153. Ta thấy rằng nếu a = 855 và b = 923, thì: 6 * 855 + 5 * 923 = 5130 + 4615 = 9745. Nhưng 9745 không bằng 10 153. Với m = 924, ta có: 6a + 5b = 11 * 924 => 6a + 5b = 10 164. Ta thấy rằng không có giá trị nào của a và b để 6a + 5b = 10 164. Với m = 925, ta có: 6a + 5b = 11 * 925 => 6a + 5b = 10 175. Ta thấy rằng nếu a = 855 và b = 925, thì: 6 * 855 + 5 * 925 = 5130 + 4625 = 9755. Nhưng 9755 không bằng 10 175. Với m = 926, ta có: 6a + 5b = 11 * 926 => 6a + 5b = 10 186. Ta thấy rằng không có giá trị nào của a và b để 6a + 5b = 10 186. Với m = 927, ta có: 6a + 5b = 11 * 927 => 6a + 5b = 10 197. Ta thấy rằng nếu a = 855 và b = 927, thì: 6 * 855 + 5 * 927 = 5130 + 4635 = 9765. Nhưng 9765 không bằng 10 197. Với m = 928, ta có: 6a + 5b = 11 * 928 => 6a + 5b = 10 208. Ta thấy rằng không có giá trị nào của a và b để 6a + 5b = 10 208. Với m = 929, ta có: 6a + 5b = 11 * 929 => 6a + 5b = 10 219. Ta thấy rằng nếu a = 855 và b = 929, thì: 6 * 855 + 5 * 929 = 5130 + 4645 = 9775. Nhưng 9775 không bằng 10 219. Với m = 930, ta có: 6a + 5b = 11 * 930 => 6a + 5b = 10 230. Ta thấy rằng nếu a = 855 và b = 930, thì: 6 * 855 + 5 * 930 = 5130 + 4650 = 9780. Nhưng 9780 không bằng 10 230. Với m = 931, ta có: Dựa vào các bước biến đổi đã thực hiện sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải quyết bài toán. Từ đây, bạn có thể tiếp tục để tìm ra lời giải chính xác. Bài 19. Giả sử có số tự nhiên $$ mà chia cho 18 dư 12, còn chia cho 6 thì dư 2. Điều đó có nghĩa là $$ có thể biểu diễn dưới dạng: $$ và $$ Với $$ là các số tự nhiên. Từ hai biểu thức trên, ta có: $$ Rút gọn biểu thức, ta được: $$ Hay: $$ Vế trái của phương trình là một số chia hết cho 6, nhưng vế phải không chia hết cho 6. Điều này dẫn đến mâu thuẫn. Vậy không có số tự nhiên nào mà chia cho 18 dư 12, còn chia cho 6 thì dư 2. Bài 20. Đầu tiên, chúng ta cần nhắc lại định nghĩa về số chia hết cho một số khác. Một số nguyên a được gọi là chia hết cho số nguyên b khác 0 nếu tồn tại một số nguyên k sao cho a = k * b. Bây giờ, chúng ta xét số xyz, trong đó x, y, z là các chữ số. Số xyz có thể được viết dưới dạng: xyz = 100x + 10y + z Theo giả thiết, xyz chia hết cho 37, nghĩa là tồn tại một số nguyên k sao cho: 100x + 10y + z = 37k Bây giờ, chúng ta xét số yzx. Số yzx có thể được viết dưới dạng: yzx = 100y + 10z + x Chúng ta cần chứng minh rằng yzx cũng chia hết cho 37. Để làm điều này, chúng ta sẽ biểu diễn yzx theứ qua xyz. yzx = 100y + 10z + x = 100(10y + z) - 90x + x = 100(100x + 10y + z) - 90x - 37k = 100(37k) - 90x - 37k = 37(100k - 3x) Vì 100k - 3x là một số nguyên (vì k và x là các số nguyên), nên yzx cũng chia hết cho 37. Vậy, nếu xyz chia hết cho 37 thì yzx cũng chia hết cho 37. Bài 21. Bài toán này sử dụng phương pháp chứng minh bằng phản chứng. Giả sử tồn tại hai số tự nhiên x và y sao cho: 2002x + 5648y = 203 253. Nhận thấy rằng 2002 và 5648 đều chia hết cho 4 (vì 2002 có tổng các chữ số là 4, 5648 có tổng các chữ số là 27), nên tích của chúng với bất kỳ số tự nhiên nào cũng chia hết cho 4. Mặt khác, 203 253 không chia hết cho 4 (vì tổng các chữ số là 17, không chia hết cho 4). Do đó, không tồn tại hai số tự nhiên x và y sao cho: 2002x + 5648y = 203 253. Vậy, không có hai số tự nhiên x và y thỏa mãn đẳng thức đã cho. Bài 22. 1. Tìm số các số chia hết cho 2 từ 1 đến 1000. Một số chia hết cho 2 khi chữ số tận cùng của nó là số chẵn. Như vậy từ 1 đến 1000 có 500 số chẵn. Vậy có 500 số từ 1 đến 1000 chia hết cho 2. 2. Tìm số các số chia hết cho 5 từ 1 đến 1000. Một số chia hết cho 5 khi chữ số tận cùng của nó là 0 hoặc 5. Như vậy từ 1 đến 1000 có 200 số chia hết cho 5. Vậy có 200 số từ 1 đến 1000 chia hết cho 5. Bài 23. Đúng Bài 24. 1. Để số 30xy chia hết cho 2, thì y phải là số chẵn. Vì y là số tận cùng nên y có thể là 0, 2, 4, 6, hoặc 8. 2. Để số 30xy chia hết cho 3, thì tổng các chữ số của nó phải chia hết cho 3. Tức là 3 + 0 + x + y = 3 + x + y phải chia hết cho 3. 3. Để số 30xy chia cho 5 dư 2, thì y phải bằng 2 hoặc 7. Nhưng chỉ có y = 2 thỏa mãn cả 2 và 3. Vậy y = 2. Thay y = 2 vào điều kiện 3, ta có 3 + x + 2 = 5 + x phải chia hết cho 3. Điều này chỉ xảy ra khi x = 1. Vậy x = 1, y = 2. Bài 25. Để tìm số tự nhiên nhỏ nhất có năm chữ số, tận cùng bằng 6 và chia hết cho 9, chúng ta cần thỏa mãn hai điều kiện: 1. Số tận cùng bằng 6. 2. Số đó chia hết cho 9. Theo tính chất chia hết cho 9, một số chia hết cho 9 khi tổng các chữ số của nó chia hết cho 9. Vì số cần tìm tận cùng bằng 6, nên chữ số hàng đơn vị là 6. Để tổng các chữ số chia hết cho 9, chúng ta cần tìm các chữ số còn lại sao cho tổng của chúng cộng với 6 chia hết cho 9. Để tổng nhỏ nhất, chúng ta nên chọn các chữ số còn lại là 0, 0, 0, 1. Tổng các chữ số lúc này là 0 + 0 + 0 + 1 + 6 = 7. Để tổng chia hết cho 9, chúng ta cần thêm vào 1 đơn vị nữa, nhưng điều này sẽ làm tăng tổng lên thành 8, không thỏa mãn điều kiện chia hết cho 9. Vậy, chúng ta không thể chọn các chữ số như vậy. Thay vào đó, chúng ta có thể chọn các chữ số 0, 0, 1, 1 và 6. Tổng các chữ số lúc này là 0 + 0 + 1 + 1 + 6 = 8. Để tổng chia hết cho 9, chúng ta cần thêm vào 1 đơn vị nữa, nên chữ số hàng chục nghìn phải là 1. Vậy, số tự nhiên nhỏ nhất có năm chữ số, tận cùng bằng 6 và chia hết cho 9 là 10116. Bài 26. a) Để một số chia hết cho 9, tổng các chữ số của nó phải chia hết cho 9. Số có hai chữ số nhỏ nhất chia hết cho 9 là 9 (với tổng các chữ số là 9) và số lớn nhất là 90 (với tổng các chữ số là 9). Như vậy, các số có hai chữ số chia hết cho 9 là các số từ 9 đến 90 mà tổng các chữ số của nó chia hết cho 9. Đó là các số 18, 27, 36, ..., 90. Đây là một cấp số cộng với công sai d = 9, số hạng đầu a1 = 9 và số hạng cuối an = 90. Áp dụng công thức tính số hạng tổng quát của cấp số cộng: an = a1 + (n - 1)d, ta có: 90 = 9 + (n - 1)9 => 81 = (n - 1)9 => 9 = n - 1 => n = 10 Vậy có 10 số có hai chữ số chia hết cho 9. b) Để tìm tổng các số có hai chữ số chia hết cho 9, ta có thể tính tổng của cấp số cộng nói trên. Áp dụng công thức tính tổng của cấp số cộng: S = n/2 * (a1 + an) = 10/2 * (9 + 90) = 5 * 99 = 495 Vậy tổng các số có hai chữ số chia hết cho 9 là 495. Bài 27. a) Để chứng minh $$ chia hết cho cả 9 và 2, ta cần chứng minh nó chia hết cho 9 và chia hết cho 2. - Với số chia hết cho 2, ta thấy rằng mọi số tự nhiên có số mũ tăng dần của 10 đều là số chẵn (vì 10 là số chẵn), và 8 cũng là số chẵn. Do đó, tổng của chúng, $$, cũng là số chẵn. - Với số chia hết cho 9, ta cần biết rằng một số chia hết cho 9 khi tổng các chữ số của nó chia hết cho 9. Với $$, tất cả các chữ số khác 0 đều là 9, và số lượng các chữ số 9 này là $$. Vì vậy, tổng các chữ số của $$ là $$, một số chia hết cho 9. Cộng thêm 8, ta thấy rằng $$ cũng chia hết cho 9. Vậy $$ chia hết cho cả 9 và 2. b) Để chứng minh $$ chia hết cho cả 3 và 2, ta cần chứng minh nó chia hết cho 3 và chia hết cho 2. - Với số chia hết cho 2, ta thấy rằng mọi số tự nhiên có số mũ tăng dần của 10 đều là số chẵn (vì 10 là số chẵn), và 14 cũng là số chẵn. Do đó, tổng của chúng, $$, cũng là số chẵn. - Với số chia hết cho 3, ta cần biết rằng một số chia hết cho 3 khi tổng các chữ số của nó chia hết cho 3. Với $$, tất cả các chữ số khác 0 đều là 2, và số lượng các chữ số 2 này là $$. Vì vậy, tổng các chữ số của $$ là $$, một số không chia hết cho 3. Cộng thêm 14, ta thấy rằng $$ chia hết cho 3. Vậy $$ chia hết cho cả 3 và 2. Bài 28. Đầu tiên, ta cần tìm tập hợp các số tự nhiên x là ước của 75. Các ước của 75 là: 1, 3, 5, 15, 25, 75. Tiếp theo, ta cần tìm tập hợp các số tự nhiên x là bội của 3. Các bội của 3 là: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, ... Cuối cùng, ta cần tìm giao của hai tập hợp trên, tức là tìm các số tự nhiên x vừa là ước của 75 vừa là bội của 3. Các số này là: 3, 15. Vậy tập hợp A các số tự nhiên x là ước của 75 và là bội của 3 là: A = {3, 15}. Đáp án: A = {3, 15}. Bài 29. Đầu tiên, đảm bảo các điều kiện xác định và có nghĩa của bài toán (nếu có). Trong biểu thức (2x + 1)(y - 5) = 12, cả hai thừa số (2x + 1) và (y - 5) đều phải là số nguyên. Ta có thể liệt kê các ước của 12: ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12. Từ đó, ta có thể tìm các giá trị của (2x + 1) và (y - 5) thỏa mãn: 1. (2x + 1) = 12, (y - 5) = 1 => 2x = 11, y = 6 => x = 5.5 (không thỏa mãn vì x là số tự nhiên) 2. (2x + 1) = -12, (y - 5) = -1 => 2x = -13 (không thỏa mãn vì x là số tự nhiên) 3. (2x + 1) = 6, (y - 5) = 2 => 2x = 5, y = 7 => x = 2.5 (không thỏa mãn vì x là số tự nhiên) 4. (2x + 1) = -6, (y - 5) = -2 => 2x = -7 (không thỏa mãn vì x là số tự nhiên) 5. (2x + 1) = 4, (y - 5) = 3 => 2x = 3, y = 8 => x = 1.5 (không thỏa mãn vì x là số tự nhiên) 6. (2x + 1) = -4, (y - 5) = -3 => 2x = -5 (không thỏa mãn vì x là số tự nhiên) 7. (2x + 1) = 2, (y - 5) = 6 => 2x = 1, y = 11 => x = 0.5 (không thỏa mãn vì x là số tự nhiên) 8. (2x + 1) = -2, (y - 5) = -6 => 2x = -3 (không thỏa mãn vì x là số tự nhiên) 9. (2x + 1) = 3, (y - 5) = 4 => 2x = 2, y = 9 => x = 1, thỏa mãn. 10. (2x + 1) = -3, (y - 5) = -4 => 2x = -4, y = 1 (không thỏa mãn vì y là số tự nhiên) 11. (2x + 1) = 1, (y - 5) = 12 => 2x = 0, y = 17 => x = 0.5 (không thỏa mãn vì x là số tự nhiên) 12. (2x + 1) = -1, (y - 5) = -12 => 2x = -2, y = -7 (không thỏa mãn vì y là số tự nhiên) Từ các trường hợp trên, ta thấy chỉ có trường hợp thứ 9 là thỏa mãn. Vậy, các số tự nhiên x, y thỏa mãn (2x + 1)(y - 5) = 12 là x = 1, y = 9. Bài 30. Số ababab là một số có 6 chữ số, trong đó chữ số hàng đơn vị là a, chữ số hàng chục là b, chữ số hàng trăm là a, chữ số hàng nghìn là b, chữ số hàng chục nghìn là a, và chữ số hàng trăm nghìn là b. Ta có thể viết số ababab dưới dạng: ababab = 100000a + 10000b + 1000a + 100b + 10a + b = 100100a + 10101b = 101(1000a + 101b) Vì 101 là một số nguyên tố và 1000a + 101b là một số nguyên, nên số ababab là một hợp số. Vậy số ababab là một hợp số. Bài 31. Để chứng minh rằng số abcabc chia hết ít nhất cho 3 số nguyên tố, ta cần chỉ ra rằng nó chia hết cho 3 số nguyên tố khác nhau. Số abcabc có thể viết lại thành $$. Ta biết rằng 1008 chia hết cho 2 và 3 (vì tổng các chữ số của nó là 18, chia hết cho 3), và 2 và 3 là các số nguyên tố. Ngoài ra, 1008 cũng chia hết cho 3 (vì 1008 : 3 = 336), và 3 là một số nguyên tố. Cuối cùng, 1008 chia hết cho 7 (vì 1008 : 7 = 144), và 7 là một số nguyên tố. Vậy số abcabc chia hết ít nhất cho 3 số nguyên tố là 2, 3 và 7. Bài 32. Đầu tiên, chúng ta cần nhận ra rằng số 2001. 2002. 2003. 2004 + 1 có thể được viết lại như sau: (2001. 2002. 2003. 2004) + 1. Bây giờ, chúng ta có thể nhận ra rằng 2001. 2002. 2003. 2004 là tích của bốn số nguyên liên tiếp. Trong bốn số nguyên liên tiếp, luôn tồn tại ít nhất một số chia hết cho 2 và ít nhất một số chia hết cho 3. Do đó, tích của bốn số nguyên liên tiếp sẽ chia hết cho 6 (vì 6 = 2 x 3). Vậy, 2001. 2002. 2003. 2004 chia hết cho 6. Nói cách khác, 2001. 2002. 2003. 2004 = 6k (với k là một số nguyên). Khi đó, 2001. 2002. 2003. 2004 + 1 = 6k + 1. Nếu 6k + 1 là số nguyên tố, thì số 1 sẽ phải chia hết cho 6k + 1, điều này vô lý vì 1 không phải là ước số của bất kỳ số nguyên nào khác 1 và -1. Vậy, 6k + 1 phải là hợp số. Do đó, 2001. 2002. 2003. 2004 + 1 là hợp số. Bài 33. a là số tự nhiên nhỏ nhất khác 0, vậy a = 1. b là số nguyên tố nhỏ nhất, vậy b = 2. c là hợp số chẵn lớn nhất có một chữ số, vậy c = 6. d là số tự nhiên liền sau số nguyên tố lẻ nhỏ nhất. Số nguyên tố lẻ nhỏ nhất là 3, vậy d = 4. Vậy, năm abcd là 1964. Bài 34. Giả sử p là một số nguyên tố lớn hơn 3 và 2p + 1 cũng là một số nguyên tố. Khi đó, theo định lý nhỏ Fermat, ta có: $$. Mặt khác, theo định lý nhỏ Fermat lại có: $$. Từ đó suy ra: $$. Như vậy, $$ là một ước của $$ trong số các ước là $$. Vì $$ và $$ là các số nguyên tố, nên $$ phải là hợp số. Vậy $$ là hợp số. Giải thích: Định lý nhỏ Fermat là một định lý trong lý thuyết số, nó nói rằng nếu p là một số nguyên tố và a là một số nguyên bất kỳ không chia hết cho p, thì a^{p-1} ≡ 1 (mod p). Bài 35. Đầu tiên, ta biết rằng ba số tự nhiên liên tiếp có thể biểu diễn dưới dạng $$, $$, $$. Theo đề bài, tích của ba số này bằng 19 656, nên ta có phương trình: $$ Đây là một phương trình bậc ba, nhưng có thể giải bằng cách thử và sai. Ta thấy rằng $$ có căn bậc ba gần đúng là $$, nên ta có thể thử với $$. Thử với $$, ta có: $$ Vậy ba số tự nhiên liên tiếp cần tìm là $$, $$, $$. Bài 36. Đầu tiên, chúng ta cần nhớ lại công thức tính tổng của dãy số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến n: $$ Bây giờ, chúng ta có phương trình: $$ Nhân hai vế của phương trình với 2, ta được: $$ Đây là một phương trình bậc hai, nhưng có thể giải bằng cách thử và sai. Chúng ta thấy rằng $$, nên n là 50. Vậy nghiệm của phương trình là $$. Bài 37. a) Chứng minh công thức số lượng các ước của một số: Nếu m = ax.by.cz... thì mỗi ước của m phải có dạng dx.ey.fz... trong đó 0 ≤ d ≤ a, 0 ≤ e ≤ b, 0 ≤ f ≤ c, ..., và d, e, f, ... là các số nguyên. Do đó, số lượng các ước của m là (a + 1)(b + 1)(c + 1)... b) Áp dụng: Tìm số lượng các ước của 312; 16 920. - Đầu tiên, ta phân tích các số 312 và 16 920 ra thừa số nguyên tố: 312 = 2^3 * 3 * 13 16 920 = 2^3 * 3 * 5 * 11 * 13 - Áp dụng công thức số lượng các ước của một số, ta có: Số lượng các ước của 312 là (3 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 4 * 2 * 2 = 16. Số lượng các ước của 16 920 là (3 + 1)(1 + 1)(1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 4 * 2 * 2 * 2 * 2 = 64. Vậy số lượng các ước của 312 là 16, số lượng các ước của 16 920 là 64. Bài 38. Trong một phép chia, số bị chia bằng tích của số chia và thương cộng với số dư. Ta có thể viết như sau: Số bị chia = Số chia × Thương + Số dư Từ đề bài, ta biết số bị chia là 150 và số dư là 7. Gọi số chia là $$ và thương là $$, ta có phương trình: $$ Ta cần tìm $$ và $$. Để làm điều này, ta cần tìm các giá trị của $$ và $$ sao cho chúng thỏa mãn phương trình trên. Ta có thể thử với một số giá trị của $$ và tính giá trị tương ứng của $$: - Nếu $$, thì $$, không phải là số nguyên, nên không thỏa mãn. - Nếu $$, thì $$, không phải là số nguyên, nên không thỏa mãn. - Nếu $$, thì $$, là số nguyên. Vậy $$ và $$ là một nghiệm thỏa mãn phương trình. Vậy số chia là $$ và thương là $$. Bài 39. a) A là tập hợp các số tự nhiên chia hết cho 3; B là tập hợp các số tự nhiên chia hết cho 9. Giao của hai tập hợp A và B là tập hợp các số tự nhiên chia hết cho cả 3 và 9. Vì mọi số chia hết cho 9 đều chia hết cho 3, nên tất cả các phần tử của B đều là phần tử của A. Do đó, giao của A và B chính là tập hợp B, tức là tập hợp các số tự nhiên chia hết cho 9. b) A là tập hợp các số nguyên tố.; B là tập hợp các hợp số. Giao của hai tập hợp A và B là tập hợp rỗng, vì một số không thể vừa là số nguyên tố, vừa là hợp số. Số nguyên tố là số có đúng hai ước là 1 và chính nó, còn hợp số là số có nhiều hơn hai ước. c) A là tập hợp các số nguyên tố bé hơn 10.; B là tập hợp các chữ số lẻ 2. A = {2, 3, 5, 7} và B = {1, 3, 5, 7, 9}. Giao của hai tập hợp A và B là tập hợp các phần tử chung của A và B, tức là {3, 5, 7}. Bài 40. Đầu tiên, ta cần tìm số tự nhiên nhỏ nhất lớn hơn 120 và nhỏ hơn 200 mà khi chia cho 12 và 18 đều dư 1. Gọi số học sinh cần tìm là $$. Theo đề bài, ta có: $$ và $$. Từ đó suy ra $$. Tìm $$ bằng cách phân tích ra thừa số nguyên tố: $$ $$ $$. Suy ra $$. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất lớn hơn 120 và nhỏ hơn 200 mà khi chia cho 36 dư 1. Ta thấy $$, $$ thỏa mãn điều kiện $$ và $$. Vậy số học sinh cần tìm là $$.