cho hpt 2x+y=5m^2-1 và x-2y=m^2

a)giải hpt khi m =2

b)tìm m để hpt có nghiệm(x0;y0)tm x0+y0 nhỏ nhất

Question

cho hpt 2x+y=5m^2-1 và x-2y=m^2

a)giải hpt khi m =2

b)tìm m để hpt có nghiệm(x0;y0)tm x0+y0 nhỏ nhất

Nguyễn Maizhg2 · Accepted Answer

$\displaystyle \begin{cases}
2x\ +\ y\ =\ 5m^{2} \ -\ 1\ \
x\ -\ 2y\ =\ m^{2}
\end{cases}$

a) Thay $\displaystyle m\ =\ 2$ vào hệ ta được
$\displaystyle \begin{cases}
2x\ +\ y\ =\ 19\ \
x\ -\ 2y\ =\ 4
\end{cases}$suy ra $\displaystyle \begin{cases}
4x\ +\ 2y\ =\ 38\ \
x\ -\ 2y\ =\ 4
\end{cases} \ $suy ra $\displaystyle \begin{cases}
5x\ =\ 42\ \
x\ -\ 2y\ =\ 4
\end{cases}$suy ra $\displaystyle \begin{cases}
x\ =\ \frac{42}{5}\
y\ =\ \frac{11}{5}
\end{cases}$
b)
$\displaystyle \begin{cases}
2x\ +\ y\ =\ 5m^{2} \ -\ 1\ \
x\ -\ 2y\ =\ m^{2}
\end{cases}$ suy ra $\displaystyle \begin{cases}
4x\ +\ 2y\ =\ 10m^{2} \ -\ 2\ \
x\ -\ 2y\ =\ m^{2}
\end{cases}$suy ra $\displaystyle \begin{cases}
5x\ =\ 11m^{2} \ -\ 2\
x\ -\ 2y\ =\ m^{2}
\end{cases}$
suy ra $\displaystyle \begin{cases}
x\ =\ \frac{11m^{2} \ -\ 2}{5}\
y\ =\ \frac{x\ -\ m^{2}}{2}
\end{cases}$ suy ra $\displaystyle \begin{cases}
x\ =\ \frac{11m^{2} \ -\ 2}{5}\
y\ =\ \frac{3m^{2} \ -\ 1}{5}
\end{cases}$
Ta có $\displaystyle x_{0} \ +\ y_{0} \ =\ \frac{14m^{2} \ -\ 3}{5}$
Ta thấy $\displaystyle 14m^{2} \ \geqslant \ 0$ nên $\displaystyle 14m^{2} \ -\ 3\ \geqslant \ -3$ nên $\displaystyle \frac{14m^{2} \ -\ 3}{5} \ \geqslant \ \frac{-3}{5}$
Vậy $\displaystyle \min( x_{0} \ +\ y_{0}) \ =\ \frac{-3}{5}$ khi $\displaystyle m\ =\ 0$

Timi · Answer

a) Thay $m = 2$ vào hệ phương trình, ta được:

$\begin{cases} 2x + y = 5(2)^2 - 1 = 19 \ x - 2y = (2)^2 = 4 \end{cases}$

$\begin{cases} 2x + y = 19 \ x - 2y = 4 \end{cases}$

Nhân phương trình thứ hai với 2, ta được:

$\begin{cases} 2x + y = 19 \ 2x - 4y = 8 \end{cases}$

Trừ phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai, ta được:

$5y = 11 \Rightarrow y = \frac{11}{5}$

Thay $y = \frac{11}{5}$ vào phương trình thứ nhất, ta được:

$2x + \frac{11}{5} = 19 \Rightarrow 2x = 19 - \frac{11}{5} = \frac{94}{5} \Rightarrow x = \frac{94}{10} = \frac{47}{5}$

Vậy nghiệm của hệ phương trình khi $m = 2$ là $\left(\frac{47}{5}, \frac{11}{5}ight)$.

b) Để hệ phương trình có nghiệm, định thức của hệ phải khác 0. Định thức của hệ là:

$\Delta = \begin{vmatrix} 2 & 1 \ 1 & -2 \end{vmatrix} = (2)(-2) - (1)(1) = -4 - 1 = -5$

Vì $\Delta 
eq 0$, nên hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất.

Ta có: $x_0 + y_0 = \frac{5m^2 - 1 + m^2}{3} = \frac{6m^2 - 1}{3}$.

Để $x_0 + y_0$ nhỏ nhất, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của $f(m) = \frac{6m^2 - 1}{3}$.

$f&#x27;(m) = \frac{12m}{3} = 4m$.

$f&#x27;(m) = 0 \Rightarrow m = 0$.

Lập bảng biến thiên, ta thấy $f(m)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $m = 0$.

Thay $m = 0$ vào $f(m)$, ta được:

$f(0) = \frac{6(0)^2 - 1}{3} = -\frac{1}{3}$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của $x_0 + y_0$ là $-\frac{1}{3}$, đạt được khi $m = 0$.