Cho tam giác tù ABC có BC = 3, AC = 4 và diện tích S = 3√3. Tìm: a) sin BCA b) cos BCA c) AB^2=? d) Bán kính đường tròn ngoại tiếp RR của tam giác ABC có độ dài lớn hơn 3,5.

a) sin BCA Ta có công thức tính diện tích tam giác: $S = \frac{1}{2}AB.AC.\sin BCA$. Thay số vào, ta được: $3\sqrt{3} = \frac{1}{2}.3.4.\sin BCA$. Giải phương trình này, ta được: $\sin BCA = \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Vậy $\sin BCA = \frac{\sqrt{3}}{2}$. b) cos BCA Ta có: $\cos^2 BCA = 1 - \sin^2 BCA = 1 - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$. Suy ra: $\cos BCA = \pm \frac{1}{2}$. Vì tam giác ABC là tam giác tù nên góc BCA là góc tù, do đó $\cos BCA < 0$. Vậy $\cos BCA = -\frac{1}{2}$. c) AB^2 Ta có: $AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2.AC.BC.\cos BCA = 4^2 + 3^2 - 2.4.3.\left(-\frac{1}{2}\right) = 16 + 9 + 12 = 37$. Vậy $AB^2 = 37$. d) Bán kính đường tròn ngoại tiếp R của tam giác ABC có độ dài lớn hơn 3,5. Theo định lý sin trong tam giác, ta có: $R = \frac{AB}{2\sin BCA} = \frac{AB}{2.\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{AB}{\sqrt{3}}$. Thay $AB^2 = 37$, ta được: $R = \frac{\sqrt{37}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{37.\frac{3}{3}}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{111}}{3}$. Ta có: $\frac{\sqrt{111}}{3} > 3,5 \Leftrightarrow 111 > 3,5^2.9 = 110,25$. Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp R của tam giác ABC có độ dài lớn hơn 3,5.