Cho a,b là các số thực không âm thỏa mãn a2+b2=1.Đặt P=2ab/a+b+1. Chứng minh (P+1)2≤2

$\displaystyle P+1=\frac{2ab}{a+b+1} +1=\frac{2ab}{a+b+a^{2} +b^{2}} +1$ (do $\displaystyle a^{2} +b^{2} =1$)
$\displaystyle  \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
P+1=\frac{a^{2} +2ab+b^{2} +a+b}{a+b+1} =\frac{( a+b)^{2} +a+b}{a+b+1} =\frac{( a+b)( a+b+1)}{a+b+1} =a+b\\
\Rightarrow ( P+1)^{2} =( a+b)^{2}
\end{array}$
Ta có: $\displaystyle ( a-b)^{2} \geqslant 0\ \forall a;b$
$\displaystyle  \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\Rightarrow a^{2} -2ab+b^{2} \geqslant 0\\
\Rightarrow a^{2} +b^{2} \geqslant 2ab\\
\Rightarrow 2\left( a^{2} +b^{2}\right) \geqslant ( a+b)^{2}
\end{array}$
Mà $\displaystyle a^{2} +b^{2} =1$
$\displaystyle \Rightarrow ( a+b)^{2} \leqslant 2$
Vậy $\displaystyle ( P+1)^{2} \leqslant 2$