Có bao nhiêu số nguyên n thỏa mãn 4n+6 chia hết cho 2n-3?

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ tìm các giá trị của \(n\) sao cho \(4n + 6\) chia hết cho \(2n - 3\). Bước 1: Xác định điều kiện chia hết. Để \(4n + 6\) chia hết cho \(2n - 3\), ta cần tìm các giá trị của \(n\) sao cho phép chia này không để lại số dư. Bước 2: Biến đổi biểu thức. Ta có thể viết \(4n + 6\) dưới dạng \(2(2n + 3)\). Điều này giúp ta thấy rằng \(4n + 6\) luôn chia hết cho 2. Tuy nhiên, điều này không giúp ta trực tiếp tìm ra các giá trị của \(n\) thỏa mãn điều kiện ban đầu. Bước 3: Sử dụng phép chia đa thức. Ta sẽ chia \(4n + 6\) cho \(2n - 3\) để tìm số dư. Nếu số dư bằng 0, thì \(4n + 6\) chia hết cho \(2n - 3\). \[ 4n + 6 = (2n - 3) \cdot 2 + 12 \] Từ phép chia này, ta thấy rằng số dư là 12. Để \(4n + 6\) chia hết cho \(2n - 3\), số dư 12 phải chia hết cho \(2n - 3\). Bước 4: Tìm các giá trị của \(n\). Để \(12\) chia hết cho \(2n - 3\), \(2n - 3\) phải là ước của 12. Các ước của 12 là \(\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12\). Từ đây, ta giải các phương trình sau để tìm \(n\): - \(2n - 3 = 1\) => \(2n = 4\) => \(n = 2\) - \(2n - 3 = -1\) => \(2n = 2\) => \(n = 1\) - \(2n - 3 = 2\) => \(2n = 5\) => \(n = 2.5\) (không phải số nguyên) - \(2n - 3 = -2\) => \(2n = 1\) => \(n = 0.5\) (không phải số nguyên) - \(2n - 3 = 3\) => \(2n = 6\) => \(n = 3\) - \(2n - 3 = -3\) => \(2n = 0\) => \(n = 0\) - \(2n - 3 = 4\) => \(2n = 7\) => \(n = 3.5\) (không phải số nguyên) - \(2n - 3 = -4\) => \(2n = -1\) => \(n = -0.5\) (không phải số nguyên) - \(2n - 3 = 6\) => \(2n = 9\) => \(n = 4.5\) (không phải số nguyên) - \(2n - 3 = -6\) => \(2n = -3\) => \(n = -1.5\) (không phải số nguyên) - \(2n - 3 = 12\) => \(2n = 15\) => \(n = 7.5\) (không phải số nguyên) - \(2n - 3 = -12\) => \(2n = -9\) => \(n = -4.5\) (không phải số nguyên) Bước 5: Kết luận. Các giá trị của \(n\) thỏa mãn điều kiện là \(n = 2, 1, 3, 0\). Kết luận: Có 4 số nguyên \(n\) thỏa mãn điều kiện \(4n + 6\) chia hết cho \(2n - 3\).