cho 3 số thực a b c thoả mãn a+b+c=6 tìm max của ab+2bc+3ac

Đầu tiên, chúng ta có thể biến đổi biểu thức ab + 2bc + 3ac thành dạng quen thuộc hơn bằng cách đặt: P = ab + 2bc + 3ac = a(b + 3c) + bc = a(6 - a) + (6 - a)c = 6a - a^2 + 6c - ac = 6(a + c) - a^2 - ac. Bây giờ, chúng ta sử dụng bất đẳng thức AM-GM (Arithmetic Mean - Geometric Mean) cho 2 số không âm a và c: ac ≤ (a + c)^2/4 = (6 - b)^2/4. Thay vào biểu thức P, chúng ta có: P = 6(a + c) - a^2 - ac ≥ 6(a + c) - a^2 - (a + c)^2/4 = 6(6 - b) - (6 - b)^2/4 = 36 - 6b - (36 - 12b + b^2)/4 = 36 - 6b - 9 + 3b - b^2/4 = 27 - 3b - b^2/4. Đặt Q = -3b - b^2/4, chúng ta cần tìm giá trị lớn nhất của Q. Đây là một bất đẳng thức bậc hai với hệ số a = -1/4 < 0, nên Q đạt giá trị lớn nhất tại điểm b = -b/2a = -(-3)/(2*(-1/4)) = 12. Thay b = 12 vào Q, chúng ta có: Q = 27 - 3*12 - (12)^2/4 = 27 - 36 - 36 = -45. Tuy nhiên, Q = -3b - b^2/4 không thể bằng -45 được, bởi vì b chỉ nhận giá trị từ 0 đến 6. Chúng ta cần tìm giá trị lớn nhất của P trong khoảng này. Thay b = 0 vào P, chúng ta có: P = 6(a + c) - a^2 - ac = 6(6) - a^2 - 0 = 36 - a^2. P đạt giá trị lớn nhất khi a = 0, khi đó P = 36. Thay b = 6 vào P, chúng ta có: P = 6(a + c) - a^2 - ac = 6(0) - a^2 - 6a = -a^2 - 6a. P đạt giá trị lớn nhất khi a = 3, khi đó P = -9. Vậy, P đạt giá trị lớn nhất khi b = 0 hoặc b = 6. Tuy nhiên, trong cả hai trường hợp, P đều đạt giá trị lớn nhất là 36. Vậy, giá trị lớn nhất của ab + 2bc + 3ac là 36.