Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH a) Chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác HBA b) Tia phân giác của góc ABC cắt AH tại điểm D và cắt AC tại điểm E chứng minh AE x BD = BE x HD và tam...

a) Chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác HBA Xét tam giác ABC và tam giác HBA, ta có: - Góc BAC = góc BHA (cùng phụ với góc ABC) - Góc ABC chung Do đó, theo trường hợp góc-góc, tam giác ABC đồng dạng với tam giác HBA. b) Chứng minh AE x BD = BE x HD và tam giác ADE cân tại A - Chứng minh AE x BD = BE x HD: Xét tam giác ADE và tam giác BDE, ta có: - Góc AED = góc BED (vì DE là tia phân giác của góc BDA) - Góc ADE chung Do đó, theo trường hợp góc-góc, tam giác ADE đồng dạng với tam giác BDE. Suy ra: $\frac{AE}{BE} = \frac{BD}{HD}$ hay AE x BD = BE x HD. - Chứng minh tam giác ADE cân tại A: Vì tam giác ADE đồng dạng với tam giác BDE nên $\frac{AD}{BD} = \frac{AE}{BE}$. Mà AE x BD = BE x HD nên AD = HD. Do đó, tam giác ADE cân tại A. c) Chứng minh tia BE là tia phân giác của góc MBN. - Chứng minh góc MBN = góc EBN: Vì M là trung điểm của AE nên BM là đường trung tuyến của tam giác ADE. Vì N là trung điểm của DH nên BN là đường trung tuyến của tam giác HDE. Theo tính chất đường trung tuyến của tam giác, ta có: $\frac{BM}{EN} = \frac{AM}{ED}$ và $\frac{BN}{EM} = \frac{HN}{HD}$. Mà AM = HN (vì M và N lần lượt là trung điểm của AE và DH) và ED = HD (vì tam giác ADE cân tại A). Do đó, $\frac{BM}{EN} = \frac{BN}{EM}$. Suy ra, tam giác BME đồng dạng với tam giác BNE (theo trường hợp cạnh-cạnh-cạnh). Do đó, góc MBN = góc EBN. Vậy tia BE là tia phân giác của góc MBN.