tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho số 4n-2/n+5 là bình phương của 1 số hữu tỉ. HELP PLS ai trl nhanh nhất vote 5 sao

Question

vinhduong15 · Accepted Answer

$\displaystyle \sqrt{\frac{4n-2}{n+5}}$ là 1 số hữu tỷ (do $\displaystyle \frac{4n-2}{n+5}$ là bình phương của 1 số hữu tỉ)
nên $\displaystyle \sqrt{( 4n-2)( n+5)}$ là số hữu tỷ $\displaystyle \Rightarrow ( 4n-2)( n+5)$ là số chính phương
Ta có: $\displaystyle ( 4n-2)( n+5) =4n^{2} +18n-10\ $
Vì $\displaystyle n\in N^{*}$ nên $\displaystyle 14n-11 >0$
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\Rightarrow 4n^{2} +4n+1+14n-11 >4n^{2} +4n+1\
\Rightarrow 4n^{2} +18n-10 >( 2n+1)^{2}
\end{array}$
Vì $\displaystyle n\in N^{*}$ nên $\displaystyle 2n+35 >0$
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\Rightarrow 4n^{2} +18n-10+2n+35 >4n^{2} +18n-10\
\Rightarrow 4n^{2} +20n+25 >4n^{2} +18n-10\
\Rightarrow ( 2n+5)^{2} >4n^{2} +18n-10
\end{array}$
Vậy $\displaystyle ( 2n+1)^{2} < 4n^{2} +18n-10< ( 2n+5)^{2}$
Mà $\displaystyle ( 4n-2)( n+5)$ là số chính phương; $\displaystyle ( 4n-2)( n+5)$ là số chẵn
$\displaystyle \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l}
4n^{2} +18n-10=( 2n+2)^{2} & \
4n^{2} +18n-10=( 2n+4)^{2} &
\end{array} ight.$
TH1: $\displaystyle 4n^{2} +18n-10=( 2n+2)^{2}$
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
4n^{2} +18n-10=4n^{2} +8n+4\
\Rightarrow 10n=14\
\Rightarrow n=1,4\ ( l)
\end{array}$
TH2: $\displaystyle 4n^{2} +18n-10=( 2n+4)^{2}$
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
4n^{2} +18n-10=4n^{2} +16n+16\
2n=26\
n=13
\end{array}$
Vậy n = 13

Timi · Answer

Đầu tiên, đảm bảo các điều kiện xác định và có nghĩa của bài toán (nếu có).

Điều kiện xác định: n ≠ -5

Điều kiện có nghĩa: 4n - 2 ≥ 0 ⇔ 4n ≥ 2 ⇔ n ≥ 1/2.

Vì n là số nguyên dương nên n ≥ 1.

Giả sử 4n - 2/n + 5 = a² (với a là số hữu tỉ)

Nhân cả hai vế với n + 5, ta được: 4n - 2 = a²(n + 5)

⇔ 4n - 2 = a²n + 5a²

⇔ 4n - a²n = 5a² + 2

⇔ n(4 - a²) = 5a² + 2

⇔ n = (5a² + 2)/(4 - a²)

Vì n là số nguyên nên (5a² + 2)/(4 - a²) cũng phải là số nguyên.

Điều này chỉ xảy ra khi 4 - a² là ước của 5a² + 2.

Xét các trường hợp:

- Nếu 4 - a² = 1 ⇔ a² = 3 ⇒ a không phải là số hữu tỉ.
- Nếu 4 - a² = -1 ⇔ a² = 5 ⇒ a không phải là số hữu tỉ.
- Nếu 4 - a² = 2 ⇔ a² = 2 ⇒ a không phải là số hữu tỉ.
- Nếu 4 - a² = -2 ⇔ a² = 6 ⇒ a không phải là số hữu tỉ.
- Nếu 4 - a² = 5 ⇔ a² = -1 ⇒ a không phải là số hữu tỉ.
- Nếu 4 - a² = -5 ⇔ a² = 9 ⇔ a = ±3.

Với a = 3, ta có: n = (5.3² + 2)/(4 - 3²) = (45 + 2)/(-5) = -9.
Với a = -3, ta có: n = (5.(-3)² + 2)/(4 - (-3)²) = (45 + 2)/(4 - 9) = -9.

Vậy n = -9 không thỏa mãn điều kiện n ≥ 1.

Do đó, chỉ có n = 1 là thỏa mãn.

Vậy n = 1 là giá trị duy nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán.