Cho hình vẽ biết ABC là tam giác đều có cạnh bằng 8cm và AMB 420. Tính AM (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)

Để tính độ dài đoạn thẳng \(AM\) trong tam giác đều \(ABC\) với cạnh bằng 8 cm và góc \(AMB = 42^\circ\), ta sẽ áp dụng Định lý Cosin trong tam giác \(AMB\). Bước 1: Xác định các thông số đã biết: - Cạnh \(AB = 8 \text{ cm}\) - Góc \(AMB = 42^\circ\) Bước 2: Áp dụng Định lý Cosin trong tam giác \(AMB\): \[ AB^2 = AM^2 + MB^2 - 2 \cdot AM \cdot MB \cdot \cos(AMB) \] Bước 3: Vì \(M\) nằm trên đường cao hạ từ đỉnh \(A\) xuống cạnh \(BC\) của tam giác đều, nên \(MB = MC\) và \(M\) chia đôi cạnh \(BC\). Do đó, \(MB = \frac{BC}{2} = \frac{8}{2} = 4 \text{ cm}\). Bước 4: Thay các giá trị vào Định lý Cosin: \[ 8^2 = AM^2 + 4^2 - 2 \cdot AM \cdot 4 \cdot \cos(42^\circ) \] \[ 64 = AM^2 + 16 - 8 \cdot AM \cdot \cos(42^\circ) \] Bước 5: Biết rằng \(\cos(42^\circ) \approx 0.7431\), thay vào: \[ 64 = AM^2 + 16 - 8 \cdot AM \cdot 0.7431 \] \[ 64 = AM^2 + 16 - 5.9448 \cdot AM \] Bước 6: Chuyển tất cả các hạng tử sang một vế để tạo phương trình bậc hai: \[ AM^2 - 5.9448 \cdot AM + 16 - 64 = 0 \] \[ AM^2 - 5.9448 \cdot AM - 48 = 0 \] Bước 7: Giải phương trình bậc hai này bằng công thức nghiệm: \[ AM = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, \(a = 1\), \(b = -5.9448\), và \(c = -48\): \[ AM = \frac{5.9448 \pm \sqrt{(5.9448)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48)}}{2 \cdot 1} \] \[ AM = \frac{5.9448 \pm \sqrt{35.34 + 192}}{2} \] \[ AM = \frac{5.9448 \pm \sqrt{227.34}}{2} \] \[ AM = \frac{5.9448 \pm 15.078}{2} \] Bước 8: Lấy giá trị dương vì độ dài đoạn thẳng không thể âm: \[ AM = \frac{5.9448 + 15.078}{2} \] \[ AM = \frac{21.0228}{2} \] \[ AM \approx 10.51 \text{ cm} \] Vậy, độ dài đoạn thẳng \(AM\) là khoảng 10.51 cm.