cho hs y=ax^3+bx^2+cx+d có đồ thị là(c) . biết (c) có 1 điểm cực trị là A(1;-1) và tâm đối xứng là(2/3;-29/27) . gtri của biểu thức S=a+b+c+d bằng bao nhiêu

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện từ điểm cực trị và tâm đối xứng: - Điểm cực trị \(A(1, -1)\) nằm trên đồ thị của hàm số \(y = ax^3 + bx^2 + cx + d\). - Tâm đối xứng \(\left(\frac{2}{3}, -\frac{29}{27}\right)\) cũng nằm trên đồ thị của hàm số. 2. Tìm các hệ số \(a, b, c, d\) từ các điều kiện đã cho: - Vì \(A(1, -1)\) là điểm cực trị, ta có: \[ y(1) = a(1)^3 + b(1)^2 + c(1) + d = -1 \implies a + b + c + d = -1 \quad \text{(1)} \] - Vì tâm đối xứng là \(\left(\frac{2}{3}, -\frac{29}{27}\right)\), ta có: \[ y\left(\frac{2}{3}\right) = a\left(\frac{2}{3}\right)^3 + b\left(\frac{2}{3}\right)^2 + c\left(\frac{2}{3}\right) + d = -\frac{29}{27} \quad \text{(2)} \] 3. Tính đạo hàm và tìm điều kiện từ điểm cực trị: - Đạo hàm của \(y = ax^3 + bx^2 + cx + d\) là: \[ y' = 3ax^2 + 2bx + c \] - Tại điểm cực trị \(x = 1\), ta có: \[ y'(1) = 3a(1)^2 + 2b(1) + c = 0 \implies 3a + 2b + c = 0 \quad \text{(3)} \] 4. Giải hệ phương trình để tìm \(a, b, c, d\): - Từ phương trình (1): \[ a + b + c + d = -1 \] - Từ phương trình (2): \[ a\left(\frac{8}{27}\right) + b\left(\frac{4}{9}\right) + c\left(\frac{2}{3}\right) + d = -\frac{29}{27} \] Nhân cả hai vế với 27 để loại bỏ mẫu số: \[ 8a + 12b + 18c + 27d = -29 \quad \text{(4)} \] - Từ phương trình (3): \[ 3a + 2b + c = 0 \quad \text{(5)} \] 5. Giải hệ phương trình (1), (4), và (5): - Ta có hệ phương trình: \[ \begin{cases} a + b + c + d = -1 \\ 8a + 12b + 18c + 27d = -29 \\ 3a + 2b + c = 0 \end{cases} \] - Giải hệ phương trình này, ta tìm được các giá trị của \(a, b, c, d\). 6. Tính giá trị của biểu thức \(S = a + b + c + d\): - Từ phương trình (1), ta thấy rằng: \[ S = a + b + c + d = -1 \] Vậy giá trị của biểu thức \(S = a + b + c + d\) là \(-1\).