Cho hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng với cạnh đáy và đều bằng 6 cm
a,Tính trung đoạn của hình chóp
b, Tính Diện tích xung quanh
c,tính chiều cao SO
d, Tính thể tích

Question

Cho hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng với cạnh đáy và đều bằng 6 cm 
a,Tính trung đoạn của hình chóp 
b, Tính Diện tích xung quanh
c,tính chiều cao SO
d, Tính thể tích

huyenvo · Accepted Answer

a, Gọi I là trung điểm của AB$\displaystyle \Longrightarrow AI=\frac{6}{2} =3( cm)$
$\displaystyle \vartriangle SAB$ cân tại S có SI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền
$\displaystyle \Longrightarrow SI\bot AB$ (tính chất)
Xét $\displaystyle \vartriangle SAI$ vuông tại I có: $\displaystyle SA^{2} =AI^{2} +SI^{2}$ (định lí Pitago)
$\displaystyle \Longrightarrow 6^{2} =3^{2} +SI^{2}$
$\displaystyle \Longrightarrow SI=3\sqrt{3}$ (cm)
b, Diện tích xung quanh của hình chóp là: $\displaystyle 3.\frac{1}{2} .3\sqrt{3} .6=27\sqrt{3} \ \left( cm^{2}\right)$
c, $\displaystyle \vartriangle ABC$ đều có CI là đường trung tuyến
$\displaystyle \Longrightarrow CI\bot AB$ (tính chất)
$\displaystyle \vartriangle SAI$ vuông tại I và $\displaystyle \vartriangle AIC$ vuông tại I có:
AI: cạnh chung
SA=AC (gt)
Do đó $\displaystyle \vartriangle SAI=\vartriangle CAI$
$\displaystyle \Longrightarrow CI=SI=3\sqrt{3}$ (cm)
Kẻ$\displaystyle SO\bot CI$
Vì S.ABC là hình chóp tam giác đều nên O là trungn tâm của $\displaystyle \vartriangle ABC$
$\displaystyle \Longrightarrow OI=\sqrt{3} \ ( cm)$
Xét $\displaystyle \vartriangle SIO$ vuông tại O có: $\displaystyle SI^{2} =OI^{2} +SO^{2}$ (định lí Pitago)
$\displaystyle \Longrightarrow \left( 3\sqrt{3}\right)^{2} =\left(\sqrt{3}\right)^{2} +SO^{2}$
$\displaystyle \Longrightarrow SO=2\sqrt{6} \ ( cm)$

Timi · Answer

a) Tính trung đoạn của hình chóp

Trung đoạn của hình chóp tam giác đều là đường cao hạ từ đỉnh S của hình chóp xuống mặt đáy ABC. Ta gọi trung điểm của cạnh đáy AB là D. Vì hình chóp tam giác đều nên SD là đường cao của tam giác đều SAB, đồng thời cũng là đường cao của tam giác đều SBC và SAC.

Ta tính SD trong tam giác đều SAB:
$$ SD = \sqrt{SA^2 - AD^2} = \sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{36 - 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \text{ cm} $$

b) Tính diện tích xung quanh

Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều là tổng diện tích của ba mặt bên. Mỗi mặt bên là tam giác đều có cạnh bằng 6 cm.

Diện tích của một tam giác đều:
$$ A_{SAB} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times SA^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 6^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 36 = 9\sqrt{3} \text{ cm}^2 $$

Diện tích xung quanh:
$$ A_{xq} = 3 \times A_{SAB} = 3 \times 9\sqrt{3} = 27\sqrt{3} \text{ cm}^2 $$

c) Tính chiều cao SO

Chiều cao SO của hình chóp tam giác đều là đường cao hạ từ đỉnh S xuống tâm O của tam giác đều ABC. Ta gọi trung điểm của cạnh đáy BC là E. Vì hình chóp tam giác đều nên OE là đường cao của tam giác đều ABC.

Ta tính OE trong tam giác đều ABC:
$$ OE = \sqrt{OB^2 - BE^2} = \sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{36 - 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \text{ cm} $$

Trong tam giác SOE vuông tại O, ta có:
$$ SO = \sqrt{SE^2 - OE^2} = \sqrt{(3\sqrt{3})^2 - (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{27 - 12} = \sqrt{15} \text{ cm} $$

d) Tính thể tích

Thể tích của hình chóp tam giác đều:
$$ V = \frac{1}{3} \times A_{ABC} \times SO $$

Diện tích đáy ABC:
$$ A_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times AB^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 6^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 36 = 9\sqrt{3} \text{ cm}^2 $$

Thể tích:
$$ V = \frac{1}{3} \times 9\sqrt{3} \times \sqrt{15} = 3\sqrt{3} \times \sqrt{15} = 3\sqrt{45} = 9\sqrt{5} \text{ cm}^3 $$

Đáp số:
a) Trung đoạn của hình chóp: $ 3\sqrt{3} \text{ cm} $
b) Diện tích xung quanh: $ 27\sqrt{3} \text{ cm}^2 $
c) Chiều cao SO: $ \sqrt{15} \text{ cm} $
d) Thể tích: $ 9\sqrt{5} \text{ cm}^3 $

Cho hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng với cạnh đáy và đều bằng 6 cm a,Tính trung đoạn của hình chóp b, Tính Diện tích xung quanh c,tính chiều cao SO d, Tính thể tích