Tìm GTNN hoặc GTLN của: M=( 27−12X)/(x^2+9)

Ta có \( M = \frac{27-12x}{x^2+9} \) Nhận thấy rằng \( x^2 + 9 > 0 \) với mọi \( x \), do đó ta có thể nhân cả tử số và mẫu số của \( M \) với \( \frac{1}{3} \) để biến đổi biểu thức. \( M = \frac{\frac{27-12x}{3}}{\frac{x^2+9}{3}} = \frac{9-4x}{\frac{x^2}{3}+3} \) Tiếp theo, ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Cauchy để tìm GTNN hoặc GTLN của \( M \). Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có: \( \frac{x^2}{3} + 3 \geq 2 \sqrt{\frac{x^2}{3} \cdot 3} = 2|x| \) Dấu bằng xảy ra khi \( \frac{x^2}{3} = 3 \), tức là \( x^2 = 9 \) hay \( x = 3 \) hoặc \( x = -3 \). Do đó, ta có: \( \frac{9-4x}{\frac{x^2}{3}+3} \leq \frac{9-4x}{2|x|} \) Xét hai trường hợp: 1. \( x \geq 0 \): \( \frac{9-4x}{2x} \) Ta có: \( \frac{9-4x}{2x} = \frac{9}{2x} - 2 \) Để tìm GTNN của \( \frac{9}{2x} - 2 \), ta cần tìm GTNN của \( \frac{9}{2x} \). Vì \( x \geq 0 \), nên \( \frac{9}{2x} \) đạt GTNN khi \( x \) lớn nhất, tức là \( x = 3 \). Khi đó, \( \frac{9}{2x} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} \). Vậy \( \frac{9}{2x} - 2 = \frac{3}{2} - 2 = -\frac{1}{2} \). 2. \( x < 0 \): \( \frac{9-4x}{-2x} \) Ta có: \( \frac{9-4x}{-2x} = -\frac{9}{2x} + 2 \) Để tìm GTNN của \( -\frac{9}{2x} + 2 \), ta cần tìm GTNN của \( -\frac{9}{2x} \). Vì \( x < 0 \), nên \( -\frac{9}{2x} \) đạt GTNN khi \( x \) nhỏ nhất, tức là \( x = -3 \). Khi đó, \( -\frac{9}{2x} = -\frac{9}{-6} = \frac{3}{2} \). Vậy \( -\frac{9}{2x} + 2 = \frac{3}{2} + 2 = \frac{7}{2} \). Kết luận: Giá trị lớn nhất của \( M \) là \( \frac{7}{2} \), đạt được khi \( x = -3 \). Giá trị nhỏ nhất của \( M \) là \( -\frac{1}{2} \), đạt được khi \( x = 3 \).