đề toán lớp 8

Câu 10: Để xác định hình thang cân ABCD (AB // CD) có góc \( R = 90^\circ \) là loại hình gì, ta cần xem xét các tính chất của hình thang cân và các góc của nó. 1. Tính chất của hình thang cân: - Hình thang cân là hình thang có hai cạnh bên bằng nhau. - Hai góc kề một đáy của hình thang cân bằng nhau. 2. Xét hình thang cân ABCD: - Giả sử AB // CD và góc \( R = 90^\circ \). Điều này có nghĩa là một trong các góc của hình thang là góc vuông. 3. Xét các trường hợp: - Nếu góc \( R = 90^\circ \) là một trong các góc ở đáy lớn (giả sử là góc \( \angle DAB \)), thì góc \( \angle ABC \) cũng phải bằng \( 90^\circ \) do tính chất của hình thang cân (hai góc kề một đáy bằng nhau). - Tương tự, nếu góc \( R = 90^\circ \) là một trong các góc ở đáy nhỏ (giả sử là góc \( \angle BCD \)), thì góc \( \angle CDA \) cũng phải bằng \( 90^\circ \). 4. Kết luận: - Trong cả hai trường hợp trên, ta thấy rằng hình thang cân ABCD có tất cả các góc đều là góc vuông. - Do đó, hình thang cân ABCD có bốn góc vuông và hai cạnh đối song song, điều này thỏa mãn định nghĩa của hình chữ nhật. Vậy, hình thang cân ABCD là hình chữ nhật. Đáp án đúng là C. Hình chữ nhật. Câu 11: Để xác định loại tứ giác ABCD, ta cần xem xét các điều kiện đã cho: 1. \( R = E \): Điều này có thể là một ký hiệu không rõ ràng hoặc không phổ biến trong toán học trung học cơ sở. Tuy nhiên, nếu giả sử \( R \) và \( E \) là các điểm đặc biệt nào đó trên tứ giác, ta cần thêm thông tin để xác định ý nghĩa của điều kiện này. 2. \( B = B \): Điều kiện này không cung cấp thông tin gì thêm vì nó chỉ là một đẳng thức hiển nhiên. 3. \( AC \bot BD \): Đường chéo \( AC \) vuông góc với đường chéo \( BD \). Với điều kiện \( AC \bot BD \), ta có thể suy ra một số điều sau: - Nếu tứ giác có hai đường chéo vuông góc, thì tứ giác đó có thể là hình thoi hoặc hình vuông. Tuy nhiên, để là hình vuông, tứ giác cần có thêm điều kiện là bốn cạnh bằng nhau và bốn góc vuông. - Nếu không có thêm thông tin nào khác, ta không thể khẳng định tứ giác là hình vuông chỉ dựa vào điều kiện \( AC \bot BD \). Do đó, với thông tin hiện có, tứ giác ABCD có thể là hình thoi. Tuy nhiên, nếu có thêm thông tin về các cạnh hoặc góc của tứ giác, ta có thể xác định chính xác hơn. Vì vậy, với các lựa chọn đã cho, đáp án hợp lý nhất là: B. Hình thoi. Câu 12: Để kiểm tra xem điểm nào thuộc đồ thị hàm số \( y = 2x + 3 \), chúng ta sẽ thay tọa độ của từng điểm vào phương trình và kiểm tra xem phương trình có đúng không. 1. Kiểm tra điểm \( A(-2; 0) \): - Thay \( x = -2 \) và \( y = 0 \) vào phương trình \( y = 2x + 3 \): \[ 0 = 2(-2) + 3 \] \[ 0 = -4 + 3 \] \[ 0 = -1 \quad (\text{sai}) \] - Vậy điểm \( A(-2; 0) \) không thuộc đồ thị hàm số. 2. Kiểm tra điểm \( B(4; 6) \): - Thay \( x = 4 \) và \( y = 6 \) vào phương trình \( y = 2x + 3 \): \[ 6 = 2(4) + 3 \] \[ 6 = 8 + 3 \] \[ 6 = 11 \quad (\text{sai}) \] - Vậy điểm \( B(4; 6) \) không thuộc đồ thị hàm số. 3. Kiểm tra điểm \( C(1; -5) \): - Thay \( x = 1 \) và \( y = -5 \) vào phương trình \( y = 2x + 3 \): \[ -5 = 2(1) + 3 \] \[ -5 = 2 + 3 \] \[ -5 = 5 \quad (\text{sai}) \] - Vậy điểm \( C(1; -5) \) không thuộc đồ thị hàm số. 4. Kiểm tra điểm \( D(1; 5) \): - Thay \( x = 1 \) và \( y = 5 \) vào phương trình \( y = 2x + 3 \): \[ 5 = 2(1) + 3 \] \[ 5 = 2 + 3 \] \[ 5 = 5 \quad (\text{đúng}) \] - Vậy điểm \( D(1; 5) \) thuộc đồ thị hàm số. Kết luận: Điểm thuộc đồ thị hàm số \( y = 2x + 3 \) là \( D(1; 5) \). Bài 1: a) Đặt nhân tử chung \(3x\) ra ngoài ta được: \[ 3x(x^2 + 4x + 4) \] Tiếp theo, nhận thấy \(x^2 + 4x + 4\) là một hằng đẳng thức dạng \((x + 2)^2\): \[ 3x(x + 2)^2 \] Vậy, đa thức đã cho được phân tích thành nhân tử là: \[ 3x(x + 2)^2 \] b) Đặt nhân tử chung \(7a\) ra ngoài ta được: \[ 7a(a^2 - 4) \] Nhận thấy \(a^2 - 4\) là một hằng đẳng thức dạng hiệu của hai bình phương \((a - 2)(a + 2)\): \[ 7a(a - 2)(a + 2) \] Vậy, đa thức đã cho được phân tích thành nhân tử là: \[ 7a(a - 2)(a + 2) \] c) Ta nhóm các hạng tử một cách thích hợp: \[ 3x^2 - x - 3y^2 - y \] \[ = (3x^2 - 3y^2) - (x + y) \] Nhận thấy \(3x^2 - 3y^2\) có thể viết lại dưới dạng \(3(x^2 - y^2)\), và \(x^2 - y^2\) là một hằng đẳng thức dạng hiệu của hai bình phương \((x - y)(x + y)\): \[ = 3(x - y)(x + y) - (x + y) \] Đặt nhân tử chung \((x + y)\) ra ngoài: \[ = (x + y)(3(x - y) - 1) \] \[ = (x + y)(3x - 3y - 1) \] Vậy, đa thức đã cho được phân tích thành nhân tử là: \[ (x + y)(3x - 3y - 1) \] d) Ta nhóm các hạng tử một cách thích hợp: \[ 4x^2 - 4xy - 1 + y^2 \] \[ = (4x^2 - 4xy + y^2) - 1 \] Nhận thấy \(4x^2 - 4xy + y^2\) là một hằng đẳng thức dạng \((2x - y)^2\): \[ = (2x - y)^2 - 1 \] Hiệu của hai bình phương \((2x - y)^2 - 1\) có thể viết lại dưới dạng: \[ = (2x - y - 1)(2x - y + 1) \] Vậy, đa thức đã cho được phân tích thành nhân tử là: \[ (2x - y - 1)(2x - y + 1) \] Bài 2: a) Ta có: \(x(4-3x)+3x^2=200\) \(=x\times 4-x\times 3x+3x^2=200\) \(=4x-3x^2+3x^2=200\) \(=4x=200\) \(=x=200:4\) \(=x=50\) b) Ta có: \(x(x+2)(x-2)-(x+3)(x^2-3x+9)=1\) \(=x(x^2-4)-(x^3-3x^2+9x+3x^2-9x+27)=1\) \(=x^3-4x-(x^3+27)=1\) \(=x^3-4x-x^3-27=1\) \(=-4x-27=1\) \(=-4x=1+27\) \(=-4x=28\) \(=x=28:(-4)\) \(=x=-7\) c) Ta có: \(4x^2-1=(x+2)(1-2y)\) \(=(2x)^2-1^2=(x+2)(1-2y)\) \(=(2x-1)(2x+1)=(x+2)(1-2y)\) \(=2x-1=1-2y\) hoặc \(2x+1=x+2\) \(=2x-1=1-2y\) hoặc \(2x-x=2-1\) \(=2x+2y=1+1\) hoặc \(x=1\) \(=x+y=1\) hoặc \(x=1\) Vậy \(x=1\) hoặc \(x+y=1\) Bài 3: a) Ta có: \[ A = \left( \frac{x}{x^2 - 4} - \frac{2}{x - 2} + \frac{1}{x + 2} \right) : \frac{3}{x - 2} \] Đầu tiên, ta sẽ rút gọn biểu thức trong ngoặc đơn: \[ \frac{x}{x^2 - 4} - \frac{2}{x - 2} + \frac{1}{x + 2} \] Ta biết rằng \( x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) \), nên ta có: \[ \frac{x}{(x - 2)(x + 2)} - \frac{2}{x - 2} + \frac{1}{x + 2} \] Quy đồng mẫu số chung là \( (x - 2)(x + 2) \): \[ \frac{x}{(x - 2)(x + 2)} - \frac{2(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)} + \frac{(x - 2)}{(x - 2)(x + 2)} \] Kết hợp các phân số: \[ \frac{x - 2(x + 2) + (x - 2)}{(x - 2)(x + 2)} \] \[ = \frac{x - 2x - 4 + x - 2}{(x - 2)(x + 2)} \] \[ = \frac{-6}{(x - 2)(x + 2)} \] Bây giờ, ta chia biểu thức này cho \( \frac{3}{x - 2} \): \[ A = \frac{-6}{(x - 2)(x + 2)} : \frac{3}{x - 2} \] \[ = \frac{-6}{(x - 2)(x + 2)} \cdot \frac{x - 2}{3} \] \[ = \frac{-6(x - 2)}{3(x - 2)(x + 2)} \] \[ = \frac{-6}{3(x + 2)} \] \[ = \frac{-2}{x + 2} \] Vậy \( A = \frac{-2}{x + 2} \). b) Ta có phương trình \( x^2 - 2x = 0 \): \[ x(x - 2) = 0 \] Từ đây, ta có hai trường hợp: \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 2 \] Do \( x \neq \pm 2 \), nên chỉ còn lại \( x = 0 \). Thay \( x = 0 \) vào biểu thức \( A \): \[ A = \frac{-2}{0 + 2} = \frac{-2}{2} = -1 \] Vậy giá trị của \( A \) khi \( x = 0 \) là \( -1 \). c) Để \( A \) nhận giá trị nguyên, ta cần \( \frac{-2}{x + 2} \) là số nguyên. Điều này xảy ra khi \( x + 2 \) là ước của \(-2\). Các ước của \(-2\) là: \( -2, -1, 1, 2 \). Do đó, \( x + 2 \) có thể là \( -2, -1, 1, 2 \), tức là \( x \) có thể là \( -4, -3, -1, 0 \). Trong các giá trị này, giá trị lớn nhất là \( x = 0 \). Vậy giá trị nguyên lớn nhất của \( x \) để \( A \) nhận giá trị nguyên là \( x = 0 \). Bài 4: Bài 4.1 a) Chứng minh \(MQ = MK\) và \(MNPK\) là hình bình hành. 1. Chứng minh \(MQ = MK\): - Do \(IK = QL\) và \(MI \perp PQ\), ta có tam giác \(MIK\) và tam giác \(QLI\) là hai tam giác vuông. - Vì \(IK = QL\), \(MI\) là cạnh chung, nên hai tam giác \(MIK\) và \(QLI\) bằng nhau theo trường hợp cạnh - góc - cạnh (cạnh huyền - góc nhọn). - Suy ra \(MK = MQ\). 2. Chứng minh \(MNPK\) là hình bình hành: - Ta có \(MN // PQ\) (giả thiết). - Đã chứng minh \(MQ = MK\). - Do đó, tứ giác \(MNPK\) có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau, nên \(MNPK\) là hình bình hành. b) Tứ giác \(MQHK\) là hình gì? Chứng minh. 1. Chứng minh \(MQHK\) là hình bình hành: - Đường thẳng qua \(Q\) song song với \(MK\) cắt \(MI\) tại \(H\). - Ta có \(MQ = MK\) (đã chứng minh). - \(QH // MK\) (giả thiết). - Do đó, tứ giác \(MQHK\) có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau, nên \(MQHK\) là hình bình hành. Bài 42 Tính chiều dài khung sắt \(MN\). - Quan sát hình 2, ta có tam giác vuông \(MNP\) với: - \(NP = 120\) cm (chiều cao). - \(PQ = 75\) cm (đáy). - Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông \(MNP\): \[ MN = \sqrt{NP^2 + PQ^2} = \sqrt{120^2 + 75^2} \] - Tính toán: \[ MN = \sqrt{14400 + 5625} = \sqrt{20025} = 141.5 \text{ cm} \] Vậy chiều dài khung sắt \(MN\) là \(141.5\) cm. Bài 5: Ta có: \(2x^2+10y^2-6xy-6x-2y+10=0\) \(\Leftrightarrow x^2-6xy+9y^2+x^2-6x+9+ y^2-2y+1=0\) \(\Leftrightarrow (x-3y)^2+(x-3)^2+(y-1)^2=0\) Do tính chất của bình phương ta có \(x-3y=0;x-3=0\) và \(y-1=0\) Từ đó ta có \(x=3\) và \(y=1\) Thay \(x=3\) và \(y=1\) vào biểu thức \(A\) ta được \(A=(-1)^{204}-1=0\)