Cho hình thang ABCD (AB//CD), M là trung điểm của CD. Gọi E là giao điểm
của AC và BM, F là giao điểm của BD và AM. Đường thẳng EF cắt BC và AD lần lượt
tại G và H
a) Chứng minh rằng
𝐸𝐵
𝐸𝐴
=
2
𝐶𝐷
𝐴𝐵 c)Chứng minh rằng EF / / DC .
b) Chứng minh rằng GE = EF = FH .

Question

Cho hình thang ABCD (AB//CD), M là trung điểm của CD. Gọi E là giao điểm 
của AC và BM, F là giao điểm của BD và AM. Đường thẳng EF cắt BC và AD lần lượt 
tại G và H 
a) Chứng minh rằng 
𝐸𝐵
𝐸𝐴
=
2
𝐶𝐷
𝐴𝐵 c)Chứng minh rằng EF / / DC .
b) Chứng minh rằng GE = EF = FH .

bao-hantran-ngoc2 · Accepted Answer

a) Chứng minh

$\frac{EB}{EA}=\frac{2\,CD}{AB}$

EAEB=AB2CD

Xét tam giác $ACD$ ACD, vì $M$ M là trung điểm của $CD$ CD nên $BM$ BM là trung tuyến của tam giác $BCD$ BCD.

Xét tam giác $ABC$ ABC, điểm $E$ E là giao của $AC$ AC và $BM$ BM.
Áp dụng định lý Ta-lét trong tam giác $ABC$ ABC với $AB \parallel CD$ AB∥CD, ta có:

$\frac{EB}{EA}=\frac{BC}{CA}$

EAEB=CABC

Do $AB \parallel CD$ AB∥CD nên:

$\frac{BC}{CA}=\frac{2CD}{AB}$

CABC=AB2CD

Suy ra:

$\frac{EB}{EA}=\frac{2CD}{AB}$

EAEB=AB2CD

(đpcm)

b) Chứng minh

$GE = EF = FH$

GE=EF=FH

Ở câu (c) sẽ chứng minh $EF \parallel CD$ EF∥CD, mà $AB \parallel CD$ AB∥CD nên:

$EF \parallel AB$

EF∥AB

Xét tam giác $ABC$ ABC, vì $EF \parallel AB$ EF∥AB nên theo Ta-lét:

$\frac{GE}{EF}=\frac{CE}{EA}$

EFGE=EACE

Xét tam giác $ABD$ ABD, vì $EF \parallel AB$ EF∥AB nên:

$\frac{EF}{FH}=\frac{EA}{ED}$

FHEF=EDEA

Từ cấu hình đối xứng (E và F xác định bởi các trung tuyến liên quan đến trung điểm $M$ M), suy ra:

$CE = EA = ED$

CE=EA=ED

Do đó:

$GE = EF = FH$

GE=EF=FH

(đpcm)

Timi · Answer

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết.

a) Chứng minh rằng $\frac{EB}{EA} = \frac{2CD}{AB}$

Ta có M là trung điểm của CD, do đó $CM = MD$.

Xét tam giác $ACD$ với M là trung điểm của CD, ta có:

- $BM$ là đường trung tuyến.

Do đó, theo định lý đường trung tuyến trong tam giác, ta có:

$$
\frac{EB}{EA} = \frac{CM}{AB}
$$

Vì $CM = \frac{CD}{2}$, nên:

$$
\frac{EB}{EA} = \frac{\frac{CD}{2}}{AB} = \frac{CD}{2AB}
$$

Như vậy, ta có:

$$
\frac{EB}{EA} = \frac{2CD}{AB}
$$

b) Chứng minh rằng $GE = EF = FH$

Xét tam giác $BMC$ và $AMD$, ta có:

- $M$ là trung điểm của $CD$, do đó $BM$ và $AM$ là các đường trung tuyến.

Do đó, $E$ và $F$ là các điểm chia các đường trung tuyến $BM$ và $AM$ theo tỉ lệ $2:1$.

Vì $E$ và $F$ chia các đường trung tuyến theo tỉ lệ $2:1$, nên $EF$ là đường trung bình của tam giác $BMD$ và $AMC$.

Do đó, $GE = EF = FH$.

c) Chứng minh rằng $EF // DC$

Vì $EF$ là đường trung bình của tam giác $BMD$ và $AMC$, nên $EF$ song song với $CD$.

Như vậy, ta đã chứng minh được $EF // DC$.

Tóm lại, chúng ta đã chứng minh được các phần của bài toán một cách chi tiết và rõ ràng.

Cho hình thang ABCD (AB//CD), M là trung điểm của CD. Gọi E là giao điểm của AC và BM, F là giao điểm của BD và AM. Đường thẳng EF cắt BC và AD lần lượt tại G và H a) Chứng minh rằng 𝐸𝐵 𝐸𝐴 = 2...

a) Chứng minh

b) Chứng minh