Giúp mình với! vẽ hình 2 bài 3 và 5

Câu 1

a) Khai triển hằng đẳng thức: $(2x-3y)^3$

Sử dụng hằng đẳng thức $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$:

Ta có: $a = 2x$ và $b = 3y$.

$(2x-3y)^3 = (2x)^3 - 3 \cdot (2x)^2 \cdot (3y) + 3 \cdot (2x) \cdot (3y)^2 - (3y)^3$

$= 8x^3 - 3 \cdot 4x^2 \cdot 3y + 3 \cdot 2x \cdot 9y^2 - 27y^3$

$= 8x^3 - 36x^2y + 54xy^2 - 27y^3$

b) Tính giá trị biểu thức $A=3x^2-4xy+5y^2$ tại $x=2, y=-1$

Thay $x=2$ và $y=-1$ vào biểu thức $A$:

$A = 3(2)^2 - 4(2)(-1) + 5(-1)^2$

$A = 3 \cdot 4 + 8 + 5 \cdot 1$

$A = 12 + 8 + 5$

$A = 25$

Câu 2: Phân tích đa thức thành nhân tử

a) $25-4x^2$
Sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$25 - 4x^2 = 5^2 - (2x)^2 = (5-2x)(5+2x)$

b) $x^2-14x-y^2+49$
Nhóm các hạng tử để tạo thành hằng đẳng thức:

$(x^2 - 14x + 49) - y^2$

$= (x-7)^2 - y^2$

Sử dụng hiệu hai bình phương: $[(x-7) - y][(x-7) + y] = (x - y - 7)(x + y - 7)$

Câu 3: Hình chữ nhật ABCD

a) Chứng minh: $OB = OC$

Vì $ABCD$ là hình chữ nhật, nên hai đường chéo $AC$ và $BD$ bằng nhau ($AC = BD$) và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Ta có: $OA = OC = \frac{1}{2}AC$ và $OB = OD = \frac{1}{2}BD$.

Mà $AC = BD \Rightarrow \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}BD$.

Vậy $OC = OB$ (đpcm).

b) Chứng minh $BH = CK$

Xét hai tam giác vuông $\triangle BHO$ (vuông tại $H$) và $\triangle CKO$ (vuông tại $K$):

Cạnh huyền $OB = OC$ (chứng minh ở câu a).

Góc $\widehat{BOH} = \widehat{COK}$ (hai góc đối đỉnh).

$\Rightarrow \triangle BHO = \triangle CKO$ (cạnh huyền - góc nhọn).

$\Rightarrow BH = CK$ (hai cạnh tương ứng) (đpcm).

Câu 5: Tam giác ABC

a) Chứng minh tứ giác BCNM là hình thang

Xét $\triangle ABC$ có $M$ là trung điểm $AB$, $N$ là trung điểm $AC$.

Suy ra $MN$ là đường trung bình của $\triangle ABC$.

$\Rightarrow MN // BC$.

Tứ giác $BCNM$ có hai cạnh đối $MN // BC$ nên $BCNM$ là hình thang.

b) Tính độ dài AF biết $AN = 3\text{ cm}$

Theo đề bài, trên tia $MB$ lấy $E$ sao cho $BE = ME$. Vì $M$ là trung điểm $AB$ nên $AM = MB$. Do đó $AM = ME + EB = 2ME$.

Xét $\triangle ABF$ có $EF // BC$ (mà $BC // MN$) $\Rightarrow EF // MN$.

Trong $\triangle AMN$: Kẻ một đường thẳng từ $E$ song song với $MN$ cắt $AN$ tại $F$ là không hoàn toàn chính xác theo cách đặt tên điểm của đề bài (F thuộc tia NC).

Phân tích lại: Vì $EF // BC$ và $MN // BC$ nên $EF // MN$.

Sử dụng định lý Ta-lét trong $\triangle AMN$ (với giả định đường thẳng $EF$ cắt các cạnh):

Vì $M$ là trung điểm $AB$ và $E$ nằm trên tia đối của $MA$ (hoặc trên đoạn $MB$), ta cần xác định vị trí $F$ dựa trên tỉ lệ.

Nếu $E$ nằm trên đoạn $MB$ sao cho $ME = EB$, tức là $E$ là trung điểm $MB$. Khi đó $AE = AM + ME = AM + \frac{1}{2}AM = \frac{3}{2}AM$.

Vì $EF // MN$ (trong đó $M, N$ thuộc $AB, AC$), theo định lý Ta-lét: $\frac{AF}{AN} = \frac{AE}{AM}$.

$\frac{AF}{3} = \frac{\frac{3}{2}AM}{AM} = \frac{3}{2}$.

$\Rightarrow AF = 3 \cdot \frac{3}{2} = 4.5\text{ cm}$.