Cho 3 số nguyên x,y,z thỏa mãn x²+y²=2z² c/m x^2-y^2 chia hết cho 48

Để chứng minh rằng \(x^2 - y^2\) chia hết cho 48, ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định tính chất của \(x\) và \(y\) - Ta có \(x^2 + y^2 = 2z^2\). - Điều này cho thấy tổng của hai bình phương là một số chẵn, do đó cả \(x\) và \(y\) phải cùng tính chất chẵn hoặc lẻ. Bước 2: Chứng minh \(x\) và \(y\) đều chẵn - Giả sử \(x\) và \(y\) đều lẻ, ta có \(x = 2a + 1\) và \(y = 2b + 1\) (với \(a\) và \(b\) là số nguyên). - Thay vào phương trình: \((2a+1)^2 + (2b+1)^2 = 2z^2\). - Điều này dẫn đến \(4a^2 + 4a + 1 + 4b^2 + 4b + 1 = 2z^2\), hay \(4(a^2 + a + b^2 + b) + 2 = 2z^2\). - Điều này không thể đúng vì vế trái là số chẵn nhưng không chia hết cho 4, trong khi vế phải là số chẵn và chia hết cho 4. Do đó, \(x\) và \(y\) đều phải là số chẵn. Bước 3: Chứng minh \(x\) và \(y\) đều chia hết cho 4 - Giả sử \(x = 2m\) và \(y = 2n\) (với \(m\) và \(n\) là số nguyên). - Thay vào phương trình: \((2m)^2 + (2n)^2 = 2z^2\), hay \(4m^2 + 4n^2 = 2z^2\), suy ra \(2(m^2 + n^2) = z^2\). - Điều này cho thấy \(z^2\) là số chẵn, do đó \(z\) cũng là số chẵn. Giả sử \(z = 2k\) (với \(k\) là số nguyên). - Thay vào phương trình: \(2(m^2 + n^2) = (2k)^2\), hay \(m^2 + n^2 = 2k^2\). - Điều này cho thấy \(m^2 + n^2\) là số chẵn, do đó \(m\) và \(n\) phải cùng tính chất chẵn hoặc lẻ. - Nếu \(m\) và \(n\) đều lẻ, ta có \(m = 2p + 1\) và \(n = 2q + 1\) (với \(p\) và \(q\) là số nguyên). - Thay vào phương trình: \((2p+1)^2 + (2q+1)^2 = 2k^2\), hay \(4(p^2 + p + q^2 + q) + 2 = 2k^2\). - Điều này không thể đúng vì vế trái là số chẵn nhưng không chia hết cho 4, trong khi vế phải là số chẵn và chia hết cho 4. Do đó, \(m\) và \(n\) đều phải là số chẵn. - Vậy \(x\) và \(y\) đều chia hết cho 4. Bước 4: Chứng minh \(x^2 - y^2\) chia hết cho 48 - Ta có \(x = 4a\) và \(y = 4b\) (với \(a\) và \(b\) là số nguyên). - Thay vào biểu thức: \(x^2 - y^2 = (4a)^2 - (4b)^2 = 16a^2 - 16b^2 = 16(a^2 - b^2)\). - Ta cần chứng minh \(a^2 - b^2\) chia hết cho 3. - Giả sử \(a\) và \(b\) không cùng tính chất chia hết cho 3, ta có các trường hợp: - \(a = 3m + 1\) và \(b = 3n + 2\) (với \(m\) và \(n\) là số nguyên). - Thay vào biểu thức: \((3m+1)^2 - (3n+2)^2 = 9m^2 + 6m + 1 - (9n^2 + 12n + 4) = 9(m^2 - n^2) + 6(m - 2n) - 3\). - Điều này cho thấy \(a^2 - b^2\) chia hết cho 3. - Vậy \(a^2 - b^2\) chia hết cho 3, do đó \(16(a^2 - b^2)\) chia hết cho \(16 \times 3 = 48\). Kết luận: \(x^2 - y^2\) chia hết cho 48.