Cách tính độ dài trung đoạn của hình chóp tam giác đều

Question

Accepted Answer

Để tính độ dài trung đoạn của hình chóp tam giác đều, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xác định các điểm và đường thẳng liên quan:
   - Giả sử hình chóp tam giác đều có đỉnh S và đáy là tam giác đều ABC.
   - Trung đoạn của hình chóp tam giác đều là đoạn thẳng nối giữa đỉnh chóp S và trọng tâm G của tam giác đáy ABC.

2. Tìm trọng tâm G của tam giác đáy ABC:
   - Trọng tâm G của tam giác đều ABC là giao điểm của ba đường trung tuyến của tam giác ABC.
   - Mỗi đường trung tuyến chia đôi cạnh đáy và cắt nhau tại trọng tâm G, chia mỗi đường trung tuyến thành tỉ lệ 2:1 từ đỉnh đến trọng tâm.

3. Tính độ dài đoạn thẳng từ đỉnh chóp S đến trọng tâm G:
   - Độ dài đoạn thẳng từ đỉnh chóp S đến trọng tâm G của tam giác đáy ABC chính là độ dài trung đoạn của hình chóp tam giác đều.
   - Ta gọi độ dài cạnh đáy của tam giác đều ABC là a và chiều cao của hình chóp từ đỉnh S xuống đáy là h.

4. Áp dụng công thức tính độ dài trung đoạn:
   - Độ dài trung đoạn của hình chóp tam giác đều có thể được tính bằng công thức:
     $$
     d = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)^2}
     $$
   - Trong đó, $\frac{a\sqrt{3}}{6}$ là khoảng cách từ trọng tâm G đến một đỉnh của tam giác đáy ABC.

5. Lập luận từng bước:
   - Bước 1: Xác định đỉnh chóp S và tam giác đáy ABC.
   - Bước 2: Tìm trọng tâm G của tam giác đáy ABC.
   - Bước 3: Tính độ dài đoạn thẳng từ đỉnh chóp S đến trọng tâm G.
   - Bước 4: Áp dụng công thức tính độ dài trung đoạn.

Vậy, độ dài trung đoạn của hình chóp tam giác đều là:
$$
d = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)^2}
$$

Đáp số: $d = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)^2}$.