A=1+4+4²+4ᶟ+...+4^2021, CHIA HẾT CHO 21

Để chứng minh rằng A = 1 + 4 + 4² + 4³ + ... + 4^2021 chia hết cho 21, ta sẽ sử dụng phương pháp quy nạp và tính chất của dãy số. Bước 1: Xét trường hợp cơ bản Ta xét trường hợp đầu tiên là 1 + 4: 1 + 4 = 5, không chia hết cho 21. Bước 2: Xét trường hợp tổng của các số hạng liên tiếp Ta xét tổng của hai số hạng liên tiếp trong dãy số: 4 + 4² = 4 + 16 = 20, không chia hết cho 21. Bước 3: Xét tổng của ba số hạng liên tiếp Ta xét tổng của ba số hạng liên tiếp trong dãy số: 1 + 4 + 4² = 1 + 4 + 16 = 21, chia hết cho 21. Bước 4: Xét tổng của bốn số hạng liên tiếp Ta xét tổng của bốn số hạng liên tiếp trong dãy số: 4 + 4² + 4³ + 4⁴ = 4 + 16 + 64 + 256 = 340, không chia hết cho 21. Bước 5: Xét tổng của năm số hạng liên tiếp Ta xét tổng của năm số hạng liên tiếp trong dãy số: 1 + 4 + 4² + 4³ + 4⁴ = 1 + 4 + 16 + 64 + 256 = 341, không chia hết cho 21. Bước 6: Xét tổng của sáu số hạng liên tiếp Ta xét tổng của sáu số hạng liên tiếp trong dãy số: 4 + 4² + 4³ + 4⁴ + 4⁵ + 4⁶ = 4 + 16 + 64 + 256 + 1024 + 4096 = 5460, chia hết cho 21. Qua các bước trên, ta thấy rằng tổng của ba số hạng liên tiếp và sáu số hạng liên tiếp trong dãy số đều chia hết cho 21. Do đó, ta có thể kết luận rằng tổng của các số hạng liên tiếp trong dãy số sẽ chia hết cho 21 nếu số lượng các số hạng liên tiếp là bội số của 3 hoặc 6. Trong dãy số A = 1 + 4 + 4² + 4³ + ... + 4^2021, số lượng các số hạng là 2022 (từ 1 đến 4^2021). Ta thấy rằng 2022 là bội số của 3 (vì 2022 : 3 = 674). Do đó, tổng của các số hạng trong dãy số A sẽ chia hết cho 21. Kết luận: A = 1 + 4 + 4² + 4³ + ... + 4^2021 chia hết cho 21.