Một vật có khối lượng m = 200g, dao động điều hòa với biên độ A = 5 cm. Xác định li độ của vật tại thời điểm động năng của vật bằng 3 lần thế năng của con lắc.

Để giải bài toán này, trước tiên chúng ta cần biết các công thức liên quan đến động năng và thế năng của một vật dao động điều hòa. 1. **Công thức động năng (Ek)**: \[ E_k = \frac{1}{2} m v^2 \] Trong đó \( v \) là vận tốc của vật. 2. **Công thức thế năng (Ep)**: \[ E_p = \frac{1}{2} k x^2 \] Trong đó \( k \) là độ cứng của lò xo và \( x \) là li độ. 3. **Mối quan hệ giữa động năng và thế năng**: Theo đề bài, động năng \( E_k \) bằng 3 lần thế năng \( E_p \): \[ E_k = 3 E_p \] 4. **Tổng năng lượng (E)** trong dao động điều hòa: \[ E = E_k + E_p = \frac{1}{2} k A^2 \] Trong đó \( A \) là biên độ dao động. Bây giờ, chúng ta sẽ tính toán: - Khối lượng \( m = 200g = 0.2kg \). - Biên độ \( A = 5cm = 0.05m \). Tính tổng năng lượng: \[ E = \frac{1}{2} k A^2 \] Từ mối quan hệ giữa động năng và thế năng, ta có: \[ E_k = 3 E_p \implies E_k + E_p = 4 E_p \implies E = 4 E_p \] Do đó: \[ E_p = \frac{E}{4} \] Và: \[ E_k = 3 E_p = \frac{3E}{4} \] Thay vào công thức động năng: \[ \frac{3E}{4} = \frac{1}{2} m v^2 \] Thay vào công thức thế năng: \[ \frac{E}{4} = \frac{1}{2} k x^2 \] Từ đó, ta có thể tính được \( v \) và \( x \). Tính \( k \): \[ E = \frac{1}{2} k A^2 \implies k = \frac{2E}{A^2} \] Tổng năng lượng \( E \) cũng có thể được tính từ động năng và thế năng: \[ E = E_k + E_p = \frac{3E}{4} + \frac{E}{4} = E \] Bây giờ, ta cần tìm li độ \( x \) khi \( E_k = 3E_p \): \[ \frac{3E}{4} = \frac{1}{2} k x^2 \] Thay \( k \) vào: \[ \frac{3E}{4} = \frac{1}{2} \left(\frac{2E}{A^2}\right) x^2 \] Giải phương trình này để tìm \( x \): \[ \frac{3E}{4} = \frac{E}{A^2} x^2 \implies 3A^2 = 4x^2 \implies x^2 = \frac{3A^2}{4} \] \[ x = \frac{\sqrt{3}}{2} A \] Thay \( A = 0.05m \): \[ x = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 0.05 \approx 0.0433m = 4.33cm \] Vậy li độ của vật tại thời điểm động năng bằng 3 lần thế năng là: \[ \boxed{4.33 \text{ cm}} \]